7: Центральное проецирование.

Для того чтобы построить проекцию точки А, выбирается произвольная плоскость П1, называемая плоскостью проекций, и точка S, не принадлежащая П1, называемая центром проекций.

Операция проецирования состоит в том, что через точки S и А проводится прямая до пересечения с плоскостью П1. Прямая SА называется проецируемой прямой, а тачка А1, точка пересечения проецирующей прямой с плоскостью проецирования П1 – центральной проекцией точки А.

На плоскости П1 можно построить центральные проекции всех точек пространства, за исключением тех, которые принадлежат плоскости П1, проходящей через центр проекций S и параллельную П1. В этом случае проецирующие прямые оказываются параллельны плоскости П1 (пример: прямая SС) и точки пересечения их с плоскостью в обычном смысле нет.

Описанным методом центрального проецирования может быть построена проекция любой точки геометрической фигуры , следовательно, и проекция самой фигуры.

При центральном проецировании происходит искажение формы, размеров и некоторых других свойств предмета. Вместе с тем часть свойств сохраняется, например, проекцией точки является точка, проекция прямой – тоже прямая линия, если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит той же прямой; точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения их проекций. Проекция предмета, построенная методом центрального проецирования, называется перспективной.

Построение проекций заданного объекта называется прямой задачей начертательной геометрии. Нетрудно заметить, что метод центрального проецирования позволяет решать ее однозначно: каждая точка на плоскости П1 имеет единственную проекцию, так как проецирующая прямая пересекается с плоскостью П1 в одной точке. Так точка А имеет на плоскости П1 единственную проекцию А1, отрезок ВС единственную проекцию В1С1, любая геометрическая фигура – единственную проекцию.

В практической деятельности необходимо уметь не только создавать чертежи, но и читать их, т.е. судить по чертежу однозначно о самом предмете. Определение формы и размеров объекта по его чертежу называется обратной задачей начертательной геометрии.

Одна проекция точки не определяет ее положение в пространстве, так как может быть проекцией любой точки, принадлежащей проецируемой прямой. Так, точка А1 может быть проекцией любой точки принадлежащей прямой SА. Следовательно, одна проекция объекта не позволяет судить о его форме и размерах, т.е. однопроекционный чертеж является необратимым.

13: Комплексные чертежи поверхностей.

Плоскость – есть такое множество точек, основные свойства которых выражаются следующими аксиомами:

1.через 3 точки, не лежащих на 1 прямой, проходит только одна плоскость:

• Через прямую и, не принадлежащую ей, точку можно провести одну и только одну плоскость.

• Через 2 пересекающиеся прямые можно провести одну и только одну плоскость.

• Через 2 параллельные прямые можно провести одну и только одну плоскость.

2.прямая, проходящая через 2 любые точки плоскости, принадлежащие этой плоскости

3.если 2 плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая

Плоскость общего положения – это плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекции.

Задать плоскость на чертеже проекциями множеством её точек невозможно, значит, плоскость на чертеже задают подходящей ей фигурой:

• Проекции 3 точек, не принадлежащих 1 прямой;

• Проекциями 1 прямой и не принадлежащей ей точки;

• Проекциями 2-ух пересекающихся прямых;

• Проекциями 2-ух параллельных прямых;

• Проекциями плоской фигуры.

?Многогранная поверхность – это поверхность, образованная частями попарно пересекающихся плоскостей, их элементами являются: грани(образующие), рёбра(линии пересечения смежных граней), вершины(точка пересечения не менее 3 граней).

Многогранная поверхность – замкнута, если каждое ребро принадлежит одновременно 2-ум граням, в противном случае – незамкнутой.

Многогранники:

• Тетраэдр(4 равных треугольников);

• Гексаэдр(6 равных квадрата);

• Октаэдр(8 равных треугольников);

Сетка – совокупность всех рёбер и вершин – построение её проекции основная задача.

Выпуклый – если все грани расположены по одну сторону.

Теорема Эйлера: Г+В-Р=2(для выпуклого)

Г – число граней;

В – число вершин;

Р – число рёбер.

Для задания поверхности могут быть использованы три основных способа: аналитический, каркасный, кинематический.

Определитель поверхности – совокупность условий, необходимых и достаточных для задания поверхности:

Геометрическая часть – совокупность фигур, с помощью которых можно образовать поверхность.

Алгометрическая часть – алгоритм формируется при помощи фигур.

Если поверхность может быть задана уравнением, то она закономерная, в противном случае – незакономерная.

Линейчатые поверхности:

-развёртывающиеся;

-неразвёртывающиеся;

-винтовые;

Поверхности вращения:

а. Поверхности, образуемые вращением прямой (линейчатые поверхности вращения)

1) цилиндр вращения

2)конус вращения

3)однополостный гиперболоид вращения

б. Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг их осей

1. Сфера образуется вращением окружности вокруг ее диаметра

2. Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг большой или малой оси.

3. Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси.

4. Однополостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси

5. Двуполостный гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

в. Поверхности, образуемые вращением кривых второго порядка вокруг оси, не являющейся осью кривой, но расположенной в ее плоскости?