12: Комплексные чертежи кривых линий.

Все непрямые и не ломаные линии называются кривыми. Кривые линии разделяются на два вида:

1. плоские кривые, т. е. такие, все точки которых располагаются в одной плоскости; 2. пространственные кривые (линии двоякой кривизны), т. е. такие, точки которых не принадлежат одной плоскости.

Если закон перемещения точки может быть выражен аналитически в виде уравнения, то образующаяся при этом линия называется закономерной, в противном случае - незакономерной, или графической.

В общем случае проекции кривой линии являются также кривыми линиями. Кривая линия определяется двумя своими проекциями.

Прямая, пересекающая кривую линию в одной, двух и более точках, называется секущей.

Касательной прямой t в данной точке А линии l называется предел, к которому стремится секущая (АВ), когда точка В, оставаясь на линии l, стремится к точке А (рис. 2.2.16, 2.2.17). Касательная к прямой линии согласно этому определению есть сама прямая Нормалью к кривой l называется прямая n, перпендикулярная к l и проходящая через точку касания А.

Кривая второго порядка имеет уравнение второй степени в декартовой системе координат. С прямой линией пересекается в двух точках (действительных, совпавших или мнимых). Эллипс - геометрическое место точек, сумма расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) - величина постоянная, равная | 2а | (длине большой оси эллипса). Эллипс не имеет несобственных точек. Парабола - геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной прямой d (директрисы). Парабола имеет одну несобственную точку. Гипербола - геометрическое место точек, разность расстояний которых до двух заданных точек (фокусов) - величина постоянная, равная | 2а | (расстоянию между вершинами гиперболы). Гипербола имеет две несобственные точки, по одной на каждой асимптоте. Кривые второго порядка - эллипс, окружность, парабола и гипербола - могут быть получены при пересечении конуса плоскостью и поэтому называются коническими сечениями.

Проекционные свойства плоских кривых линий:

1. Секущая m к кривой l проецируется в секущую m₁ к проекции l₁. 2. Касательная t к кривой l проецируется в касательную t₁ к проекции l₁. 3. Бесконечно удаленные точки кривой проецируются в бесконечно удаленные проекции её точек. 4. Число точек пересечения кривых равно числу точек пересечения их проекций. На основании перечисленных свойств можно сделать выводы: 1) порядок плоской алгебраической кривой при проецировании не изменяется; 2) эллипс может проецироваться в эллипс или окружность, окружность - в окружность или эллипс, парабола - в параболу, гипербола - в гиперболу.

Из закономерных пространственных кривых наибольшее практическое применение находят винтовые линии, в частности, цилиндрическая винтовая линия

Цилиндрическая винтовая линия представляет собой пространственную кривую, описываемую точкой, совершающей равномерно-поступательное движение по образующей цилиндра вращения, которая в свою очередь вращается вокруг оси цилиндра с постоянной угловой скоростью. Величина Р, на которую поднимается точка за один оборот образующей, называется шагом винтовой линии. Горизонтальная проекция винтовой линии является окружностью, а фронтальная - синусоидой. На развертке цилиндрической поверхности винтовая линия изобразится в виде прямой.