6. Сходящаяся система сил. Равнодействующая системы сходящихся сил.

Система сходящихся сил. Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. Равнодействующая сходящихся сил равна геометрической сумме этих сил и приложена в точке их пересечения . Равнодействующая может быть найдена геометрич. способом – построением силового (векторного) многоугольника или аналитич. способом, проектируя силы на оси координат.

. Проекции силы на оси координат (для плоской сист.): F_x=Fcos; F_y=Fcos=Fsin; проекция >0, если направление составляющей силы совпадает с направл. оси. Модуль силы: ; направляющие косинусы: разложение силы на составляющие: , где – орт (единичный вектор) соответствующей оси.

Для пространственной системы: ,

F_x=Fcos; F_y=Fcos; F_z=Fcos; ; .

Проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равна алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси: R_x=F_ix; R_y=F_iy; R_z=F_iz; .

7. Геометрические и аналитические условия равновесия системы сходящихся сил.

Для равновесия системы сходящихся сил, приложенных к твер­дому телу, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая, а следовательно, и главный вектор этих сил были равны нулю. Условия равновесия мож­но выразить в геометрической или в аналитической форме.

а) Геометрическое условие равновесия. Для равновесия системы сходящихся сил необхо­димо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.

б) Аналитические условия равновесия.

Аналитические условия равновесия системы сходящихся сил определяются формулами:

- пространственная сходящаяся

- плоская сходящаяся система сил

Для равновесия плоской (пространственной) сходящейся системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на две (три) координатные оси равнялись 0.

8. Момент силы относительно центра как мера вращательного действия силы. Алгебраический момент силы относительно центра.

Свойства момента силы: 1) момент силы не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия; 2) момент силы относит. точки =0 только тогда, когда сила =0 или когда линия действия силы проходит через точку (т.е. плечо =0). Если x,y,z – координаты точки приложения силы, F_x, F_y, F_z – проекции силы на оси координат и точка 0 – начало координат, то

=(yF_z – zF_y) +(zF_x – xF_z) +(xF_y – yF_x)

Проекции момента на оси координат равны:

; ;

8. Теорема о моменте равнодействующей (теорема Вариньона).

Если система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно любого центра О равен сумме моментов составляющих сил относительно того же центра.

Док-во:

8. Сложение двух параллельных сил, направленных в одну и противоположные стороны (без доказательства).

8. Пара сил, алгебраический момент пары сил. Момент пары сил как вектор. Теорема о независимости суммы моментов сил, составляющих пару, относительно произвольного центра.

8. Теорема об эквивалентности пар на плоскости.

Пары сил, лежащие в одной плоскости, эквивалентны, если их моменты численно равны и одинаковы по знаку.

Теорема об эквивалентности пар сил. Пару сил, действующую на твердое тело, можно заменить другой парой сил, расположенной в той же плоскости действия и имеющий одинаковый с первой парой момент.

Доказательство: Пусть на твердое тело действует пара сил .

П еренесем силу в точку , а силу в точку . Проведем через точки две любые параллельные прямые, пересекающие линии действия сил пары. Соединим точки отрезком прямой и разложим силы в точке и в точке по правилу параллелограмма.

Так как , то

и

Поэтому эквивалентна системе , а эта система эквивалентна системе , так как эквивалентна нулю.

Таким образом мы заданную пару сил заменили другой парой сил . Докажем, что моменты у этих пар сил одинаковы.

Момент исходной пары сил численно равен площади параллелограмма , а момент пары сил численно равен площади параллелограмма . Но площади этих параллелограммов равны, так как площадь треугольника равна площади треугольника .

Что и требовалось доказать.

Выводы:

1. Пару сил как жесткую фигуру можно как угодно поворачивать и переносить в ее плоскости действия.

2. У пары сил можно изменять плечо и силы, сохраняя при этом момент пары и плоскость действия.