Корреляционная функция и спектральная плотность мощности шума

Корреляционная функция является детерминированной характеристикой случайного процесса (шума), которая связывает значение случайной величины (сигнала) x(t₁) в данный момент времени t₁ со значением этой величины (сигнала) x(t₂) в любой более поздний момент времени t₂ = t₁ + .

Для стационарного случайного сигнала выбор конкретного значения момента времени t₁ не имеет значения. Здесь имеет значение лишь значение .

Корреляционная функция К() определяется как среднее значение произведения случайных величин в рассмотренные моменты времени: , где Т – время наблюдения.

Для стационарного случайного процесса корреляционная функция зависит только от одного аргумента — временного интервала .

Для одинаковых моментов времени t₁=t₂ (= 0) корреляционная функция, как это следует из формулы (1), с учетом того, что среднее значение <x(t)>=0, совпадает с дисперсией случайного процесса: .

В определении функции К() фигурирует квадрат сигнала x(t). Квадраты сигналов пропорциональны интенсивности или мощности соответствующих физических величин. Поэтому корреляционная функция характеризует интенсивность случайного процесса.

Исследователей интересует не только вопрос интенсивности флуктуаций, но и реакция приборов на эти флуктуации. Как известно, реакция прибора на любой сигнал может характеризоваться частотной характеристикой прибора, или его переходной характеристикой, или его импульсной характеристикой. Эти характеристики однозначно связаны между собой. Очевидно, что достаточно знать одну из них.

Внутренний шум, как правило, представляет собой хаотически изменяющийся сигнал, многократно изменяющий свою величину и (или) знак за время измерений. В этом смысле он напоминает периодический сигнал. Поэтому его взаимодействие с прибором удобно сравнивать с взаимодействием прибора с периодическим сигналом. Это взаимодействие, чаще всего, описывают, используя понятия “частотная характеристика прибора” и “спектральная плотность сигнала”. Спектральная плотность сигнала находится с помощью преобразования Фурье. Зная частотную характеристику прибора и спектральную плотность сигнала на его входе , можно очень просто найти спектральную плотность сигнала на выходе прибора, умножив одну на другую: (см. рис.).

Д алее, взяв обратное преобразование Фурье от функции , можно установить зависимость сигнала от времени на выходе прибора: .

В связи с этим можно ставить вопрос о спектральной плотности шумового сигнала. К сожалению, для случайных сигналов x(t). преобразование Фурье не существует, поскольку не существует интеграл . Однако, существует преобразование Фурье для квадратов случайных сигналов – x²(t). И поскольку квадраты сигналов пропорциональны мощности соответствующих физических величин, то можно говорить о спектральной плотности мощности соответствующих сигналов. Эту функцию будем обозначать как . В этом случае связь между спектральными плотностями мощности шумовых сигналов на выходе и входе прибора дается равенством .

Спектральная плотность S²() мощности шума тоже является детерминированной характеристикой случайного процесса и определяется как прямое преобразование Фурье корреляционной функции: . Используя обратное преобразование Фурье, отсюда можно выразить спектральную плотность шумового сигнала через спектральную плотность мощности: .(5). Из предыдущих формул найдем: . Отсюда и из (2) следует очень важная формула, связывающая дисперсию случайной величины x со спектральной плотностью соответствующего случайного процесса:

.

Из этой формулы следует, что дисперсия шума является интегральной характеристикой интенсивности случайного процесса, усредненного по бесконечному частотному интервалу.

Замечание! Приведенная выше спектральная теория шумов годится не только для тепловых флуктуаций, но и для стационарных шумов любой природы.