Колебания математического маятника
Н
айдем
теперь средний угол случайных отклонений
свободно висящего математического
маятника. Работа, необходимая для
отклонения маятника от положения
равновесия на малый угол ,
определяется формулой
.
Отсюда и из формулы (3) найдем, что среднее
квадратическое значение угла случайных
отклонений свободно висящего маятника
.
Обратим внимание, что в этом случае, как и в предыдущем, величина этих флуктуаций не зависит от параметров внешней среды, будь то вакуум, воздух или густое масло.
Повороты упруго подвешенного зеркальца
О
дним
из простейших и наиболее чувствительных
приборов является легкое зеркальце,
подвешенное на тонкой, обычно кварцевой,
нити. Примером такого устройства является
зеркальный гальванометр.
Чувствительность зеркального гальванометра определяется возможностью регистрации весьма малых углов поворота зеркальца на нити. Предел (или порог) чувствительности, т. е. наименьшие углы поворота , которые могут быть зарегистрированы при однократных измерениях, определяются тем, что они должны быть больше, чем колебания зеркальца, вызванные тепловым движением молекул окружающей среды и нити. Это тепловое движение приводит к случайным поворотам подвешенного зеркальца на углы, величина которых характеризуется значением дисперсии или среднего угла поворота. Вычислим эту величину.
Для того, чтобы зеркальце
«случайно», т. е. под действием молекулярного
теплового движения окружающей среды,
отклонилось от равновесного положения
на некоторый угол ,
необходимо, чтобы была произведена
работа против упругих сил нити. Эта
работа производится за счет энергии
теплового движения молекул окружающей
среды. При малых углах работа внешних
сил, необходимая для выведения зеркальца
из положения равновесия
,
где а – крутильная жесткость нити
(
,
r – радиус нити, l – ее длина и G
– модуль сдвига нити). Таким образом,
.
Пример: при T
= 300°К и а =10-13 Дж (таким значением
параметра а обладают очень тонкие
кварцевые нити) имеем
рад
= 40 угл. сек. Эта величина определяет
угол, на который в среднем поворачивается
зеркальце «само по себе».
Смещения пружинных весов
Совершенно аналогичные результаты могут быть получены для пружинных весов.
Т
епловое
движение молекул механизма весов и
окружающей среды будут приводить к
тому, что нагрузка весов будет хаотически
изменяться. Это изменение нагрузки
будет компенсироваться упругой силой
cx, где c – коэффициент жесткости
пружины. Работа, совершаемая при малом
смещении x, равна
.
Тогда среднее случайных отклонений
груза от положения равновесия
.
Измерение массы m на весах возможно,
если вызываемое ее весом растяжение
пружины больше флуктуаций длины пружины.
Растяжение пружины грузом m равно
.
Поэтому предельно малая масса, которая
может быть найдена при однократном
измерении,
.
Тепловые флуктуации в электрическом колебательном контуре
В
следствие
хаотического (теплового) движения
электронов в цепи контура в нем будут
возникать флуктуации тока и напряжения.
Воспользуемся основной формулой
,
где х — ток или напряжение в цепи;
– работа, которую нужно совершить, чтобы
создать ток или напряжение.
Если в результате
флуктуации возникает ток, то работа на
создание этого тока связана с созданием
магнитной энергии этого тока в катушке:
.
Если рассматривать флуктуацию заряда
или напряжения на конденсаторе, то
,
где
— напряжение на конденсаторе. Из этих
формул найдем среднее квадратичное
значение тока в цепи и напряжения на
конденсаторе:
,
.
Отсюда следует, что флуктуация не зависит
от сопротивления резистора R.
Из рассмотренных примеров следует, что величина флуктуаций, описываемая дисперсией или значением средних квадратов флуктуаций параметров, зависит только от температуры окружающей среды и параметров системы. Этот результат представляется удивительным, поскольку эти флуктуации ни как не зависят от параметров среды. Дисперсии случайных отклонений здесь оказались не связанными с механизмом флуктуаций – хаотическим движением молекул окружающей среды. В частности, в случае зеркальца, подвешенного на упругой нити, результат будет одинаковым и для зеркальца, висящего в густом масле, и для зеркальца, висящего в разреженном воздухе! Этот парадокс находит свое объяснение при рассмотрении спектральной плотности флуктуаций, т.е. распределения энергии флуктуаций по частоте.