Геометрическая нелинейность

Пример 1. Зависимость периода колебаний математического маятника от амплитуды колебаний по формуле – типичное проявление геометрической нелинейности, которая приводит к нелинейности дифференциального уравнения колебаний маятника. Эта нелинейность обусловлена зависимостью момента силы тяжести, действующей на маятник, от угла отклонения массы от положения равновесия.

Пример 2. Тело, прижимается к горизонтальной плоскости пружиной. Найдем зависимость проекции F_x(x) силы упругости от перемещения х.

П усть трение отсутствует и пружина - линейная, т.е. , где l – деформация пружины.

Считаем, что при x=0, F_упр=F₀, т.е. в положении равновесия пружина натянута. Тогда , причем .

Следовательно, . Учитывая, , выражая cos через , получим .

Рассмотрим несколько частных случаев (приближений):

Первый случай. Пусть тогда, пренебрегая , получим

Второй случай (учет слагаемых ). Воспользуемся формулой , при . Тогда .

Третий случай: начальное натяжение пружины отсутствует, т.е.F₀=0. Тогда из предыдущей формулы найдем .

Из полученных формул видно, что результат существенно зависит от используемого приближения, т.е. математической модели. При этом, несмотря на то, что пружина была выбрана линейной, т.е. , зависимость силы от перемещения может быть существенно нелинейной.

Физическая нелинейность

Пример 1. Прибор для измерения малых перемещений (дилатометр).

Здесь перемещение одной пластины конденсатора относительно другой можно измерять, измеряя емкость конденсатора.

З ависимость емкости от расстояния между пластинами дается известной формулой , где S - площадь одной пластины, х – расстояние между пластинами, откуда .

Зависимость С от х имеет явно нелинейный характер. Эта нелинейность ни как не связана с геометрией устройства, но обусловлена физикой происходящих здесь явлений.

Е мкость можно измерять непосредственно, но можно ее измерять, настраивая контур на резонансную частоту . Подставляя сюда формулу для С, найдем зависимость между _рез и расстоянием х: , где – коэффициент преобразования СИ.

Можно видеть, что зависимость между х и С и между х и _рез – совершенно разные, хотя и остаются нелинейными.

Вывод: выбором выходной величины СИ мы можем управлять видом функции преобразования.

П ример 2. Полупроводниковый диод. Его можно рассматривать как СИ, в котором входной величиной является напряжение, а выходной - ток.

Зависимость тока от напряжения имеет характерный нелинейный вид. Эта нелинейность также обусловлена физикой процессов, протекающих в диоде. Очевидно, что причины мультипликативных погрешностей не исчерпываются приведенным списком. Например, сюда же можно отнести зависимость электрического сопротивления и механической упругости элементов от температуры, влияние радиационного облучения, влажности и т.п.

Токи утечки

В следствие несовершенства изоляции между двумя проводниками с разными потенциалами между ними будет течь ток, который обычно нежелателен. Его величина зависит от сопротивления изоляции и сопротивления окружающей среды, которая, в свою очередь, зависит от влажности, температуры, наличия поверхностных пленок, пыли и т.д.

Влияние токов утечки проявляется наиболее заметно в цепях с большим сопротивлением.

Токи утечки вызывают мультипликативную погрешность, так как они эквивалентны шунтированию основной нагрузки.

Пример. Сопротивление между двумя точками на печатной плате, расположенными на расстоянии 1 см друг от друга спустя некоторое время после ее изготовления не превосходит 10⁸ Ом.

При измерении напряжения U₀ у объекта, имеющего выходное сопротивление R₀, с помощью средства измерения СИ, имеющего входное сопротивление R_i, вследствие несовершенства изоляции кабеля и наличии разности потенциалов между его проводниками, возникают токи утечки.

. Эти токи можно устранить методами пассивной и активной защиты.