Формулы статических погрешностей средств измерений

Рассмотрим погрешность, определяемую формулой (13) предыдущего раздела:

. (1) Эту формулу называют трёхчленной формулой. Если измеряемая величина х мала, так что , последним слагаемым можно пренебречь по сравнению с остальными и формула статической погрешности примет вид .(2). Формула (2) описывает погрешность прибора с полосой погрешности вида III, эту формулу называют двучленной. Обычно эту формулу записывают в другом виде, исходя из следующих соображений.

Оказывается, что легче всего измерять погрешность СИ в начале шкалы (при х=0) и в конце шкалы (при xx_k). В первом случае, поскольку в начале шкалы, т.е. при , погрешность . Поэтому относительную погрешность прибора описывают приведенной погрешностью прибора .

В конце шкалы, т.е. при xx_k, из (2) имеем . Используя эти результаты, формулу (2) представим в виде:

.

Т.о. двучленная формула принимает следующий вид: .

Эта формула справедлива для . При ей пользоваться нельзя.

По ГОСТу обозначение класса прибора с двучленной формулой основной погрешности даётся в виде отношения , где числитель и знаменатель (их не делят друг на друга !! ) выражают в процентах.

Для приборов, у которых основной погрешностью является аддитивная погрешность (сдвиг нуля), т.е. , мультипликативной погрешностью пренебрегают. В этом случае из формулы (2) следует: , т.е. для приборов, у которых основной погрешностью является аддитивная погрешность, формула расчета погрешности оказывается одночленной. В качестве класса точности приборов с такой погрешностью даётся значение , выраженное в %.

Полный и рабочий диапазоны средств измерений

Полный диапазон СИ определяется интервалом измерения x, в котором относительная погрешность прибора . При этом х изменяется в пределах . Для СИ, погрешность которых определяется по трехчленной формуле, полный диапазон определяют параметром .

Для СИ, погрешность которых определяется по одночленной или двухчленной формуле, полный диапазон соответствует диапазону , где x_k — предел измерений (задается и ограничивается шкалой прибора). Полным диапазоном измерения таких приборов называют величину D равную .

Для СИ с полосой неопределенности вида I величина D порядка 10³.

Для СИ с полосой неопределённости вида III величина D порядка 10³-10⁵.

Для СИ с полосой неопределённости вида IV величина D порядка 10⁴-10⁸ и более.

Рабочий диапазон СИ составляет часть полного диапазона, в котором погрешность  имеет значение, меньше заданного значения.

Динамические погрешности средств измерений

Все выше сказанное про погрешности СИ относилось к статическим погрешностям. Динамические погрешности СИ возникают при измерении величин, изменяющихся во времени. Различают два вида динамических погрешностей: динамические погрешности первого рода и динамические погрешности второго рода.

Динамические погрешности первого рода — обусловлены переходными процессами, связанными с инерционностью отдельных элементов прибора или, в общем случае, превращением одних видов энергии в другие. Если динамическую погрешность привести к входу прибора, то . Анализ динамических погрешностей первого рода сводится к анализу колебательных процессов в СИ, возникающих под действием измеряемого сигала.

Д инамические погрешности второго рода — характерны для цифровых приборов и связанны с дискретным характером измерительного преобразования. Например, в приборах с развертывающим уравновешиванием результат измерения относится или к началу, или к концу измерительного интервала (см. рис.).

В случае неидеальной развертки это приводит к потере информации о моменте равенства сигнала развертки и измеряемого сигнала.

Динамические погрешности первого рода присущи большинству СИ. Поэтому рассмотрим их более подробно.

В идеальных статических СИ при отсутствии погрешностей связь между сигналом на выходе и сигналом на входе СИ (математическая модель СИ) дается простым алгебраическим уравнением , где К =const.

Однако, если учесть инерционные свойства СИ, его математическая модель оказывается гораздо сложнее. В этом случае значение сигнала на выходе СИ зависит не только от его значения на входе, но и от характера зависимости этого сигнала от времени.

В случае аналоговых СИ математическую связь сигналов y и x можно представить в виде дифференциального уравнения. С точки зрения возможности максимальной точности анализа, конструкция СИ должна быть такой, чтобы соответствующее дифференциальное уравнение было обыкновенным линейным. В противном случае этот анализ СИ становится весьма сложным.

Рассмотрим СИ, математическая модель которого дается обыкновенным дифференциальным уравнением. Это уравнение запишем в виде

.

Здесь y(t) – сигнал на выходе СИ. Коэффициенты a_n a_n-1,…определяются конструкцией СИ. Решение этого уравнения зависит от вида сигнала x(t), от начальных условий (значений производных ) в момент появления сигнала, т.е. состояния СИ, и, естественно, от значений коэффициентов a_n a_n-1,…., которые определяются конструкцией СИ.

Поскольку вид сигналов на входе СИ может самым разнообразным, желательно получить такие динамические характеристики СИ, которые не зависят от формы сигнала x(t). Кроме того, желательно иметь и стандартный вид математических моделей СИ, чтобы было их удобно сравнивать между собой. Поэтому при анализе динамических свойств СИ рассматривают так называемые стандартные сигналы. Они имеют вид:

x(t) – гармоническая функция ( );

x(t) – единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда, которую обозначают как 1(t));

x(t) – импульсная функция (дельта-функция Дирака (t)).

В первом случае динамической характеристикой СИ является комплексная частотная характеристика Н(); во – втором – переходная характеристика h(t); в третьем – весовая характеристика w(t).

Кроме того, математические модели СИ сводят к так называемым динамическим звеньям.

Звено нулевого порядка: связь между y(t) и x(t) описывается алгебраическим уравнением вида , т.е. имеет вид статической характеристики, рассмотренной выше.

Звено первого порядка: связь между y(t) и x(t) описывается линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Звено второго порядка: связь между y(t) и x(t) описывается линейным дифференциальным уравнением второго порядка. В данном случае реакция звена на сигнал (или влияние звена на сигнал) существенно зависит от интенсивности диссипации энергии (трения) в этом звене. В связи с эти различают колебательное звено второго порядка и апериодическое звено второго порядка.

Звенья более высокого порядка в теории измерений, как правило, не рассматривают. В случаях, когда динамические свойства СИ являются более сложными, стараются представить СИ как совокупность указанных выше простых звеньев.

Таким образом, как правило, при анализе динамических свойств СИ рассматривают три вида звеньев и три вида стандартных сигналов.

Существует строгая математическая связь между указанными выше динамическими характеристиками СИ, и каждая из них может быть выражена через другую.

На рис. показаны стандартные сигналы на входе и выходе СИ, динамические свойства которого могут быть представлены колебательным звеном второго порядка. Выбор вида динамической характеристики СИ зависит от вида проводимого измерения, и пристрастия инженера. Например, если процесс измерения связан с измерением периодического сигнала, с модуляцией сигнала или с использованием частотных фильтров, то удобнее использовать частотную характеристику Н(). В этом случае влияние динамических свойств СИ и, соответственно, его динамическая погрешность сводятся к изменению амплитуды и фазы сигнала на выходе СИ по сравнению с этими параметрами сигнала на его входе (см первый рис.). В случае периодического сигнала сложной формы динамическая погрешность СИ приведет к искажению формы сигнала. При отсутствии динамической погрешности меняется только амплитуда сигнала, причем независимо от его частоты или формы.