28. Метод потенциалов

Заполненные клетки будем называть базисными. Для каждой баз.клетки, лежащей на пересечении строки i и столбца j, напишем уравнение p_i+q_j=c_ij. Переменные p и q называют потенциалами, которых (m+n), а уравнений (m+n-1), поэтому одной переменной можно присвоить произвольной значение. - пусть р₁=0. Далее для небазисных клеток вычисляем относительные оценочные коэф-ты: = p_i+q_j-c_ij.. Находим max( >0). Решение оптимально если все <=0, если не так, то строим цикл пересчета, кот. начинается и заканчивается выбранной небазисной клеткой. Присвоим знаки вершинам цикла: выбранной небазисной клетке “+“, следующей вершине- “-“, затем знаки чередуются. Среди вершин со знаком “–“ находим наименьшее число. Затем вычитаем его из вершин со знаком “–“ и прибавляем к вершинам со знаком “+“. Допустим, что min достигается в нескольких базисных клетках, тогда выбираем любую, делаем ее небазисной, а во всех остальных ставятся нули.

Экон.смысл: оценка свободной клетки показывает, насколько уменьшатся суммарные расходы по перевозке груза, если поставить единицу груза от i-го производителя j-му потребителю

30. Динамическое программирование.

ДП разработано для решения задач мат.программирования путем их разложения на относительно небольшие, менее сложные задачи. Для отыскания оптимального управления планируемая операция разделяется на ряд последовательных шагов, т.е. процесс планирования становится многошаговым, причем каждый раз оптимизируется управление только на одном шаге.

Принцип оптимальности и реккурентные соотношения.

Принцип искать всегда оптимальное продолжение процесса относительно того состояния, которое достигнуто в данный момент, принято называть принципом оптимальности.

Параметр состояние и ф-ия состояния. Состояние на каждом шаге характ-ся некоторой переменной величиной, кот. называется параметром состояния. Наилучший эффект на данном этапе вместе с уже рассмотренными шагами хар-ся функцией состояния. Решение конкретной задачи методом динамич. Программирования сводится к выбору параметра состояния, составлению ф-ии состояния и реекурентных соотношений, связывающих ф-ии состояния для двух соседних последовательных этапов, и их применению для выбора оптимального управления.

31. Задача распределения капитальных вложений: постановка, математическая модель и решение методом динамического программирования.

Данная задача с n переменными представляется как многошаговый процесс принятия решений. На каждом шаге определяется экстремум функции только от одной переменной.

Предположим, что указано n пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделено b рублей. Обозначим через f_i(x_i) прирост мощности или прибыли на j-м предприятии, если оно получит x_i рублей капитальных вложений. Требуется найти такое распределение (x₁,x₂, ... , x_n) капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли z = f₁(x₁) + f₂(х₂) + ... + f_n(x_n)

при ограничении по общей сумме капитальных вложений x₁ + x₂ + ... + x_n = b

причем будем считать, что все переменные x_j принимают только целые неотрицательные значения

x_j = 0, или 1, или 2, или 3, ...

Функции f_j(x_j) мы считаем заданными, заметив, что их определение - довольно трудоемкая экономическая задача. Воспользуемся методом динамического программирования для решения этой задачи.

Динамическое программирование - это вычислительный метод для решения задач управления определенной структуры.

Введем параметр состояния и определим функцию состояния. За параметр состояния  примем количество рублей, выделяемых нескольким предприятиям, а функцию состояния F_k() определим как максимальную прибыль на первых k предприятиях, если они вместе получают  рублей. Параметр  может изменяться от 0 до b. Если из  рублей k-е предприятие получит x_k рублей, то каково бы ни было это значение, остальные  - x_k рублей естественно распределить между предприятиями от первого до (k-1)-го так, чтобы была получена максимальная прибыль F_k-1( - x_k). Тогда прибыль k предприятий будет равна f_k(x_k) + F_k-1( - x_k). Надо выбрать такое значение x_k между 0 и , чтобы эта сумма была максимальной, и мы приходим к рекуррентному соотношению F_k()=max{f_k(x_k) + F_k-1(-x_k)}

0  x_k  

для k = 2, 3, 4, ... , n . Если же k=1, то F₁() = f₁()

Рассмотрим пример. Пусть производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 тыс. рублей (b=700), выделяемые предприятиям суммы кратны 100 тыс. рублей. Значения функций f_j(x_j) приведены в таблице 1, где, например, число 88 означает,

что если третье предприятие получит 600 тыс. руб. капитальных вложений, то прирост прибыли на этом предприятии составит 88 тыс. руб.

Таблица I

Прежде всего, заполняем табл. 2. Значения f₂(x₂) складываем со значениями F₁( - x₂) = f₁(- x₂) и на каждой северо-восточной диагонали находим наибольшее число, которое отмечаем звездочкой и указываем соответствующее значение . Заполняем таблицу 3.

Продолжая процесс, табулируем функции F₃(), () и т.д. В табл. 6 заполняем только одну диагональ для значения = 700. Наибольшее число на этой диагонали: Z_max = 155 тыс. руб.,

причем четвертому предприятию должно быть выделено х^*₄ = ₄ (700) = 300 тыс. руб.

На долю остальных трех предприятий остается 400 тыс. руб. Из табл. 5 видно, что третьему предприятию должно быть выделено x^*₃ = ₃ (700-x^*₄) = ₃ (400) = 200 тыс. руб.

Продолжая обратный процесс, находим x*₂ = ₂ (700 - x*₄ - x*₃) = ₂ (200) = 100 тыс. руб.

На долю первого предприятия остается x*₁ = 700 - x*₄ - x*₃ - x*₂ = 100 тыс. руб.

Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям: x*₁ =100; x*₂ =100; x*₃ = 200; x*₄ = 300.

Оно обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли 155 тыс. руб.

Студенту рекомендуется проверить выполнение равенства f₁(x*₁) + f₂(x*₂) + f₃(x*₃) + f₄(x*₄) = z _max