Шейпак А.А. Гидравлика и гидропневмопривод (часть 2)

2.2.3. Уравнение расхода для жидкости в центробежном насосе

Напомним, что уравнение расхода, называемое также уравнением неразрывности, является частным случаем закона сохранения массы. Для установившегося движения через рабочее колесо его можно записать как

Кольцевая площадь πDb (рис. 2.6) принимается за живое сечение при пренебрежении толщиной лопаток, коэффициент ψ учитывает стеснение

z

направлении, z – число лопаток.

Учитывая поток утечек через зазоры между неподвижными и вращающимися элементами проточной части, уравнение расхода для центробежного насоса можно записать в виде:

Рис. 2.6. К определению уравнения расхода

Величина объемных потерь оценивается объемным КПД насоса:

51

Очевидно, что в потоке утечек участвуют различные частицы жидкости, между ними и основным потоком жидкости, выходящим через насос, происходит непрерывный обмен. Величина объемных потерь, или утечек, может быть подсчитана для каждого зазора отдельно по известной из общего курса гидравлики формуле:

Величина коэффициента расхода µ зависит не только от вида уплотнения и числа Re, но и от геометрии проточной части насоса и от режима его работы.

Напор, теряемый в уплотнении, можно подсчитать по формуле:

q =0, то ϕ = 0,5; если 0 < q ≤ 0,3, то ϕ = 2,67q + 0,5 ; если q > 0,3, то ϕ =

0,82.

Коэффициент расхода гладкого щелевого уплотнения зависит, прежде всего, от его относительной длины. Если 100 δl > 1,1, то µ = 0,65; если

100 δl ≤ 1,1, то µ = 59 δ ⁄ l .

2.2.4. Основное уравнение теории лопастных машин

Применяя уравнение момента импульса (момента количества движения) и уравнение баланса мощности (уравнение энергии), можно получить основное уравнение теории лопастных насосов, связывающее величину напора с величинами скоростей осредненного потока жидкости. Это уравнение, впервые полученное Леонардом Эйлером в 1751 году, является основой расчета не только лопастных насосов, но и компрессоров, вентиляторов, газовых и гидравлических турбин.

Выделим систему, состоящую из жидкости, ограниченной стенками проточной части рабочего колеса и осесимметричными поверхностями, занимающими в момент времени t положение 1-1 и 2-2 (см. рис. 2.6). Через некоторый небольшой промежуток времени dt выделенный объем жидкости будет занимать положение между сечениями 1′-1′ и 2′- 2′.

Рассмотрим момент внешних сил и изменение момента импульса (момента количества движения) для осредненного потока, приняв направление вращения за положительное.

52

На рассматриваемую систему действуют следующие моменты внешних сил:

1.Момент от силового воздействия лопастей на жидкость М.

2.Моменты трения на поверхностях 1-1 и 2-2, направленные против вращения.

Внешние силы давления и сила тяжести, вследствие центральной симметрии системы, момента относительно оси вращения не создают.

направление окружной скорости (U1 или U2 ).

Приравнивая изменение момента импульса импульсу моментов внешних сил, получим

где Qm′ – идеальная массовая подача.

На расчетном режиме работы моменты M1 и M 2 малы, поэтому мож-

но записать, что величина момента взаимодействия лопастей рабочего колеса с жидкой средой будет

то из (2.14) и (2.15) легко получить основное уравнение теории лопастных машин:

Величина Hт носит название теоретического напора насоса и имеет

размерность длины. Величина теоретической удельной работы будет Lт =V2uU2 −V1uU1 в Дж/кг = м2/с2 .

Обычно V1u = 0 и тогда

53

Теоретический напор насоса можно определить экспериментально, составив баланс мощности насоса по методу, предложенному впервые профессором С.С. Рудневым. Для этого с помощью специальных опытов определяют мощность механических потерь и величину утечек, после чего, используя формулу (2.15), можно построить зависимость Hт = f (Q′) или

Hт = ϕ(Q) .

В некотором диапазоне подач экспериментальная характеристика Hт = f (Q′) описывается уравнением прямой. Однако для подач заметно

меньше расчетной наблюдается резкий рост теоретического напора

(рис. 2.7).

Рис. 2.7. Характеристики центробежного насоса

Описанное протекание зависимости Hт = f (Q′) в области малых по-

дач объясняется тем обстоятельством, что при существенном отклонении от расчетного режима работы сначала на входе в рабочее колесо, а затем и на выходе из него возникают мощные нестационарные вихревые обратные токи жидкости (рис. 2.8), вызывающие дополнительные потери на так называемое гидравлическое торможение. Допущение о малости величин M1

и M 2 на этих режимах работы неправомочно. Обратные токи жидкости в

высоконапорных насосах, кроме дополнительных потерь энергии, могут нарушить нормальное функционирование насосной установки. Так, известны случаи поломки входного запорного клапана, вызванные обратными закрученными потоками жидкости. В первом приближении можно считать, что обратные токи на выходе из рабочего колеса возникают при относительной подаче Q < 0,6 от номинальной. Появление обратных

токов на входе в рабочее колесо связано в значительной степени с конструктивными особенностями насоса и поэтому зависит от конкретного вида проточной части.

Уравнение (2.16), используя известные геометрические соотношения для треугольников скоростей, можно переписать в следующем виде:

54

Рис. 2.8. Схема образования обратных токов в центробежном насосе

Аналогичное выражение для теоретической удельной работы будет

Первое слагаемое в формулах (2.18) и (2.19) представляет приращение удельной энергии жидкой среды в рабочем колесе, обусловленное работой циркуляционных сил обтекания лопастей; второе слагаемое – приращение удельной энергии, обусловленное кориолисовыми силами инерции. Формулы (2.18) и (2.19) имеют общий вид для всех лопастных машин.

Исключив из уравнений (2.18) и (2.19) окружные составляющие относительных скоростей, можно переписать эти выражения в следующем виде:

колеса. Первые два слагаемых в уравнениях (2.20) и (2.21) составят при-

назовем статическими теоретическим напором. Отметим, что потери в проточной части могут уменьшить только статический напор. Член

55

относительном движении, следовательно, повышение давления в потоке может быть получено за счет его торможения в каналах рабочего колеса.

риолисовыми силами инерции, и обусловлен повышением потенциальной энергии жидкой среды при ее перемещении из области низкого давления на меньших радиусах в область высокого давления на больших радиусах.

Следует заметить, что выкладки при выводе формул (2.18) – (2.21) основаны на допущении, что проведенное нами осреднение потока справедливо как для уравнения движения (уравнение момента импульса), так и для уравнения энергии.

2.2.5. Схема бесконечного числа лопаток и поправки

Современное состояние гидромеханики и вычислительной техники позволяет теоретическим путем получить зависимость Hт = f (Q′) , причем

для идеальной жидкости расчет дает линейную функцию.

Однако проведение расчетов требует большого количества машинного времени. В связи с этим для проектирования часто используют традиционный метод, основанный на гипотезе бесконечного числа лопастей (лопаток) и привлечении обширного экспериментального материала в виде обобщенных критериальных зависимостей. При принятии гипотезы бесконечного числа лопаток, имеющих нулевую толщину, поток в области колеса становится симметричным, а относительная скорость, величина которой определяется уравнением расхода, будет направлена по касательной к поверхности лопасти в рассматриваемой точке.

Окружная составляющая абсолютной скорости на выходе из рабочего колеса тогда будет равна

где β2л – геометрический угол установки лопатки на наружном диаметре, а теоретический напор

Переход к конечному числу лопаток легко осуществить с помощью

56

Порядок величины k = 0,7Κ 0,8 , вид функциональной зависимости от геометрических и режимных параметров определяются принятой теоретической схемой. Совпадение с экспериментальными данными дает во многих случаях поправка на активный радиус, когда величина напора определяется на диаметре, меньшем наружного диаметра рабочего колеса, и пря-

где Y = r1 2 – коэффициент активного радиуса.

r2

Для углов 5o < β2 < 40o можно привести следующую полуэмпириче-

Хорошие результаты дает формула Стодолы-Майзеля с поправочным коэффициентом, полученным в КБ ХИММАШ:

V2u∞ −V2u = k πz U2 sin β2 , где k = 0,7 .

Простота расчетов по элементарной теории бесконечного числа лопаток позволяет легко проводить серию вариантных расчетов, оценив, например, влияние угла β2 на характеристику насоса.

2.2.6. Характеристики центробежного насоса

По формулам, приведенным в предыдущих разделах, легко получить зависимость теоретического напора от величины идеальной подачи Q′

или, зная утечки, от величины подачи насоса Q при постоянной частоте

вращения n . Для получения напорной характеристики насоса необходимо знать зависимость отдельных составляющих гидравлических потерь от величины подачи. В первом приближении целесообразно разделить суммарные гидравлические потери на две составляющие: на участке от точки измерения давления на входе в насос до выходного сечения рабочего колеса и на участке от выходного сечения рабочего колеса до точки измерения давления на выходе из насоса. Первую составляющую будем называть потерями в лопастном или рабочем колесе ∆H k , а вторую – потерями в отво-

дящем устройстве (спиральный отвод и диффузор) ∆H0 . Иногда следует

отдельно учесть потери во входном устройстве. Для экспериментального разделения потерь необходимо провести измерение величины напора за колесом Hк , которое можно организовать либо в абсолютном, либо в от-

носительном движении. И те, и другие измерения показали, что в доста-

57

точно широком диапазоне режимов работы насоса, 0,6 < Q <1,4 (Q –

отношение текущего значения подачи к величине подачи на режиме максимального гидравлического КПД назовем относительной подачей) величина ∆Hk = Hт − Hк остается постоянной.

При подачах больших номинальной Q >1,4 потери в рабочем колесе

растут вследствие увеличения потерь на трение в межлопаточных каналах. При подачах Q < 0,6 потери в рабочем колесе растут из-за большого отличия угла установки лопатки от угла натекания потока и возникновения вследствие этого отрывного вихревого движения в начальной части межлопаточного канала. Отметим, что на режимах Q < 0,6 и Q >1,4 наблюда-

ется заметная нестационарность течения в рабочем колесе и в корпусе насоса, так что разделение потерь на этих режимах становится условным: диссипация энергии здесь в значительной степени обусловлена взаимодействием потоков в рабочем колесе, входном и отводящем устройствах. В первом приближении можно считать, что потери в рабочем колесе вблизи расчетного режима пропорциональны скоростному напору, подсчитанному по относительной скорости на входе в рабочее колесо:

Среднее значение коэффициента ζk = 0,65 ; этому значению коэффи-

циента потерь соответствует величина гидравлического КПД рабочего колеса ηг = 0,80Κ 0,96. Разумеется, такой способ расчета является лишь пер-

вым приближением, удобным для производства прикидочных расчетов и учитывающим только основную функциональную зависимость. При применении к расчету гидравлических потерь в рабочем колесе центробежного насоса зависимостей, полученных для неподвижных каналов в курсе общей гидравлики, величина гидравлических потерь получается заниженной, поэтому величина ζк = 0,65 учитывает сложную картину течения во

вращающихся межлопаточных каналах.

В работе [5] приведена эмпирическая формула для определения коэффициента гидравлических потерь в рабочем колесе центробежного насоса в зависимости от доли энергии, определяемой циркуляцией в относительном движении. Авторами была использована прямая линия регрессии, которая, как показали дальнейшие исследования, имеет большую погрешность в области режимов как с большой отрицательной долей напора за счет циркуляции в относительном движении, так и с большой положительной долей циркуляции.

58

Современное состояние теории пограничного слоя и численных методов механики жидкости позволяет получить величину потерь энергии в решетках профилей расчетным путем. Результаты расчетов показали качественные эквиваленты экспериментальных данных, однако потери по расчету всегда были на 50-80 % меньше опытных. Указанное обстоятельство объясняется, по всей вероятности, существенным отличием параметров турбулентного потока в центробежных насосах от полуэмпирических закономерностей, принимаемых обычно для замыкания системы уравнений движения. Результаты расчета показали, что линейный закон должен приводить к большим погрешностям за пределами исследованной области режимов. В связи с этим была предложена следующая формула, структура которой удовлетворительно описывает ход теоретической зависимости:

Спиральный отвод и лопастной направляющий аппарат в отличие от рабочего колеса является однорежимным гидравлическим устройством: при отклонении величины подачи от номинального значения более чем на

±10% потери в отводящем устройстве начинают резко увеличиваться. Наиболее простой способ определения оптимального режима работы спирального отвода основывается на следующем экспериментальном факте: на режиме максимального гидравлического КПД отношение скорости в узком сечении диффузора к окружной составляющей скорости на выходе

из рабочего колеса является постоянной величиной Vср = 0,65. Только на

V2u

этом режиме спиральный отвод работает равномерно по всей входной кольцевой площади. При подачах, меньших расчетной, в спиральном отводе величина средней скорости сохраняет примерно постоянное значение, соответствующее оптимальному режиму, а в отводе наблюдаются рециркуляционные потоки жидкости, перемещающиеся в окружном направлении и интенсивно обменивающиеся энергией путем турбулентного перемешивания с основным потоком жидкой среды. При подачах, больших расчетной, часть жидкости из рабочего колеса поступает в диффузор, огибая язык спирали. При этом средняя величина скорости в сечениях спирального отвода остается примерно постоянной, как и в предыдущем случае. Кроме описанной картины течения потока, на характер и величину гидравлических потерь в отводе оказывает влияние резкий градиент скорости непосредственно в зоне выхода из рабочего колеса.

При анализе результатов экспериментальных исследований гидравлических потерь в спиральных отводах с диффузорами, имеющими опти-

мальный угол раскрытия порядка 8o Κ 12o , можно отметить, что в первом приближении все отводы геометрически и кинематически подобны, а, следовательно, гидравлические потери в них на оптимальном режиме можно обобщить одним коэффициентом потерь

59

где величина ζ0 = 0,20 соответствует значению гидравлического КПД отвода ηг0 = 0,93.

Приведенные количественные оценки коэффициентов потерь относятся к насосам относительно малых размеров ( D1 = 30 −80 мм), приме-

няемым в качестве вспомогательных во многих отраслях машиностроения, в том числе в системах охлаждения и топливоподачи автотранспортных, авиационных и судовых двигателей.

Зная гидравлические потери в рабочем колесе и отводе, легко определить величину гидравлического КПД на расчетном (оптимальном) режиме работы насоса.

Гидравлические потери на нерасчетных режимах работы ввиду упомянутого выше нестационарного характера течения потока в проточной части насоса целесообразно не расчленять на отдельные составляющие, а определять суммарные потери. Неплохие результаты дает следующая эмпирическая зависимость относительного гидравлического КПД от относительной подачи насоса:

щая режиму максимального гидравлического КПД.

Формула (2.33) дает хорошие результаты в диапазоне режимов Q = 0,5Κ 1,5. При Q < 0,5 разброс экспериментальных точек становится

заметным (до 6%). На подачах, больших номинальной, при использовании зависимости (2.33) необходимо предварительно убедиться в отсутствии кавитации в горле диффузора, которая может значительно изменить ход напорной характеристики. Типичный вид напорной характеристики представлен на рис. 2.7 и рис. 2.9.

Суммарные гидравлические потери оцениваются величиной гидрав-

жен совпадать с режимом максимального гидравлического КПД или режимом минимальных гидравлических потерь (эти два режима несколько отличаются друг от друга).

где Nг – гидравлическая мощность насоса, а Nм – механическая мощность.

60