²(30) . Основные допущения при анализе переходных процессов. Правило коммутации.

Задача о переходном процессе (с неизменными во времени R,L,C) можно привести к решению линейного дифференциального уравнения.

Рассмотрим, например, схему на рис. 5.1:

При замкнутом ключе по второму закону Кирхгофа: uL+Ri=E или .

Таким образом, определение тока как функции времени по сути дела есть решение дифференциального уравнения.

Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. При этом соблюдаются 2 основных положения: ток через индуктивность и напряжение на емкости не могут измениться скачком.

Доказательство того, что ток через индуктивность не может измениться мгновенно приведем на примере вышеуказанной схемы. По второму закону Кирхгофа:

Допустим, что ток i может изменяться скачком. Скачек тока означает, что за бесконечно малый интервал времени t0 ток изменится на конечную величину i. При этом.

Левая часть уравнения не равна правой, второй закон Кирхгофа не выполняется. Следовательно, наше предположение неверно.Доказательство того, что напряжение на емкости не может изменяться скачком, можно произвести аналогично.

Обратимся к простейшей цепи с емкостью (см. рис. 5.2).

Составим для нее уравнение по второму закону Кирхгофа: где Е – эдс источника, конечная величина;uc – напряжение на емкости.

Так как , то .

Если допустить, что напряжение uc может изменяться скачком, то

Левая часть не равна правой, что противоречит второму закону Кирхгофа.

Из доказанных двух основных положений следуют два закона (правила) коммутации.

I закон коммутации:Ток через индуктивность непосредственно до коммутации iL(0–) равен току через туже индуктивность непосредственно после коммутации:

iL(0–) = iL(0+).

II закон коммутации:

uc(0–) = uc(0+).

В общем случае задача анализа переходных процессов заключается в определении мгновенных значений токов или напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации и может быть сведена к решению дифференциального уравнения цепи при t>0.

3 (19). Переход от изображения к оригиналу. Теорема разложения. Востановление оригинала функции по его операторному изображению

Под p условимся принимать комплексное число p =  + j (можно рассматривать как комплексную частоту). Функцию времени (ток, напряжение) обозначают f(t) и называют оригиналом. Ей соответствует функция F(p) – изображение. Соответствие F(p) = f(t) устанавливается с помощью преобразований:

- прямое преобразование Лапласа:

(1)

- обратное преобразование Римана-Мелина:

(2)

Изображение напряжения на конденсаторе.

Напряжение на конденсаторе uc часто записывают в виде:

где не указаны пределы интегрирования по времени. Более полной является следующая запись: где учтено, что к моменту времени t напряжение на конденсаторе определяется не только током, протекающим через C в интервале времени от 0 до t, но и тем напряжением uc(0), которое было на нем при t=0.

П оэтому: .

Простейшие операторные соотношения содержатся в справочном материале многих учебных пособий в виде готовых таблиц.

Отметим основные свойства преобразованияЛапласа:

1. Соответствие между оригиналом и изображением взаимно однозначно: каждой функции f(t) соответствует F(p) и наоборот.

2. При умножении оригинала f(t) на постоянную величину , умножается иизображение: f(t) . =  F(p) . Изображение суммы функций равно сумме изображений этих функций. Эта теорема позволяет по известному изображению функции в виде рациональнойдроби:

найти соответствующий ей оригинал, где

B(p) = bmpm + bm-1pm-1 + … + b1p + b0 = bm (p–p1)(p–p2)…(p–pm) .

p1, p2, … , pm – корни уравнения B(p)=0.

Теорема разложения аналитически представляется формулой: .

Последовательность вычислений по формуле такова:

Приравниваем B(p) к нулю и определяем корни p1, p2, … ,pn.

Вычисляем производную B’(p) и подставляем в нее корни p1, p2, … ,pn (поочередно).

Подставляем в числитель корни p1, p2, … ,pn. Определяем его значения – A(pk).

Вычисляя отдельные слагаемые и суммируя их, определяем оригинал f(t).

Замечания к формуле разложения: Формула разложения применима при любых начальных условиях и при любых практически встречающихся формах напряжения источника эдс или тока, воздействующего на схему. Если уравнение B(p)=0 имеет комплексно-сопряженные корни, то слагаемые в формуле разложения оказываются также комплексно-сопряженными и в сумме дают действительное слагаемое.

4. Переходные процессы при скачкообразном изменении емкости в цепи. Некорректные коммутации.Второй обобщённый закон коммутации.Изменение зарядов на всех параллельно включенных конденсаторах за время коммутации равно нулю, т. е. Сумма зарядов конденсаторов перед коммутацией (t=0_-) равна сумме их зарядов непосредственно после коммутации (t=0₊). . (1.11)

У становившееся значение напряжение на ёмкости находим по второму обобщённому закону коммутации.

З аряд до коммутации

Заряд после коммутации .