11. Знакопочередні ряди. Ознака Лейбніца. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжності.

Озн.: числовий ряд назив. знакопочередним якщо знаки його членів строго передуються. Тобто будь-які два сусідні члени чкого мають різні знаки: а₁-а₂+а₃-...+(-1)^n-1a_n+…= (1)

де a_n0, n>N.

Теорема 1 (ознака Лейбніца): Ряд (1) збіжний якщо1) lim_n а_n=0 2) а_n > а_n+1, n>N

Доведення: Розглянемо послідовність частинних сум ряду (1) з парним числом членів S_2n=а₁-а₂+а₃-a₄+...+a_2n-1-a_2n= (а₁-а₂)+(а₃-a₄)+...+(a_2n-1-a_2n)>0< а₁ Послідовність {S_2n} складається з додатних членів, крім того S_2n=a₁-[(а₂-а₃)+(а₄-a₅)+...+(a_2n-2-a_2n-1)+a_2n]  а₁. Оскільки весь вираз у квадратних дужках додатній тобто послідовність тобто посл-ть {S_2n}, крім того що складається з додатних членів є ще зростаючою і обмеженою зверху. За теоремою про границю обмеженої послідовності ця послідовність має границю: lim_n S_2n = S_.

Розглянемо тепер частинну суму S_2n+1 з непарним числом членів S_2n+1= S_2n+а_2n+1. (2) Перейшовши у (2) до границі при n→∞ і враховуючи першу умову теореми одержимо: lim_n S_2n+1 = lim_n S_2n+ lim_n а_2n+1 = S+0=S . Ми одержали, що lim_n S_2n+1 = lim_n S_2n = S це і означає, що lim_n S_n=S Тобто ряд(1) за озн збіжний. Теор доведено

Озн: Числовий ряд назив знакозмінним якщо він містить нескінчену к-сть як додатних так і від’ємних членів

Очевидно, що розглянуті вище знакопочередні ряди є частим випадком знакозмінних рядів. Що до знакозмінних рядів справедлива наступна теорема

Теорема 2: Нехай знакозміний ряд. Якщо збігається ряд , то збігається ряд.

Твердження обернене до данної теореми неправильне: існують знакозмінні ряди які збігаються але ряди складені з модулів їх членів │є розбіжними.

О-ня 1: Якщо разом з рядом . збігається ряд │ ряд називається збіжним абсолютно.

У випадку якщо ряд збіжний а ряд │ розбігається, то ряд називається збіжним умовно.

12.Функціональні ряди. Поняття рівномірної збіжності. Ознака Вейєрштраса

Озн: Нехай послідовність функції визначених на деякій числовій множині Е . Функціональним рядом називають вираз (x) (1). Як і для числових рядів цей вираз формальний. Візьмемо точку Х₀ і у ряді (1) покладемо Х=X₀ одержимо числовий ряд ( ) (2). Ряд (2) може бути як збіжним так і розбіжним. Якщо ряд(2) збігається, точка Х₀ –точка збіжності функціонального ряду (1). Якщо ряд (2) розбігається то точка Х₀ – точка розбіжності функціонального ряду. Множина всіх точок збіжності функціонального ряду (1) називається областю збіжності цього ряду. Зрозуміло , що ця область зовсім не обов’язково співпадає з множиною Е. Таким чином, в кожній точці ,яка належить області збіжності існує границя Тобто в кожній точці визначена ф-я .

цю ф-ю називають сумою функціонального ряду(1). А наз. частинною сумою. Аналогічно розглядається поняття залишку ряду: Тобто залишок утворюється якщо з (1) відкинути перші n доданків. В кожній точці із обл.. збіжності Відомо, що для скінченного числа доданків зберігаються такі властивості ф-ї як: неперервність, диференційованість, інтегрування. Тобто скінченна сума неперервних ф-й є неперервна. Суму скінченого числа ф-ї, можно почленно диференціювати та інтегрувати. (якщо існують відповідні похідні і інтеграли). Виявляеться, що властивості незавжди виконуються для суми нескінченого числа доданків для ф-них рядів. Однак всі ці властивості зберігаються для так званих рівномірно збіжних ф-них рядів.

Оз-ня: Ф-ний ряд (1) наз. рівномірнозбіжним, якщо в його обл. збіжності рівномірно. Це-означає,-що для і незалежить від Х, що для всіх n>N виконується нерівність для всіх х із обл. збіжності. Основні властивості рівномірнозбіжних ф-них рядів:

1. Якщо ряд (1) складається із неперервних ф-цій і рівномірно збігається на деякому проміжку то його сума буде неперервною ф-ю на цьому проміжку.

2. Якщо ряд (1) складається із неперервних ф-й і рівномірно збігається на [a;b] то його можна почлено інтегрувати у межах [a,b] тобто:

3. Якщо ряд (1) збігається на відрізку [a;b] а ряд складених з його похідних

рівномірнозбіжний на [a;b] то ряд (1) можна почлено диференцюювати на [a;b] , тобто: (x)= ⁼ ,

Теорема: (Вейєрштраса) . Нехай збіжний додатний числовий ряд і для виконуеться нерівність / / (2)/ Тоді на [a;b] функціональний ряд збігається абсолютно і рівномірно.

_Дов. У будь-якій т. . За ознакою порівняння ряд ( ) – збіжний. Це означає, що ряд _{абсолютно збігається на відрізку [a,b]. Покажемо рівномірну збіжність цього ряду. Розглянемо його залишок. За вл. Модуля і нерівн.(2) маємо:}

де залишок збіжного числового ряду. За вл. Числових рядів Це означає що звідси випливає . Із нерівності (3) отримаємо: що . А це означає, що функціональний ряд рівномірно збіжний за означенням.