34

3. Геометрические характеристики плоских сечений

Сопротивление бруса разным видам деформации зависит не только от его материала и размеров, но и от формы его поперечных сечений.

Форма поперечного сечения учитывается в таких геометрических характеристиках:

 статические моменты площади S_z , S_y ;

 моменты инерции I_z , I_y , I_zy , I_ ;

 моменты сопротивления W_z , W_y , W_ .

3.1. Статические моменты площади

Рассмотрим произвольную плоскую фигуру (поперечное сечение бруса). Малый элемент площади dA в системе координат zOy имеет координаты z и y (рис. 13).

С татический момент площади А относительно оси Oz  это геометрическая характеристика, которая определяется интегралом

где у  расстояние от элементарной площадки dA до оси Oz .

Рис.13

Аналогично вычисляется статический момент площади A относительно оси у:

где z  расстояние от площадки dA до оси Oy.

В зависимости от расположения осей Oz и Oy статические моменты и могут быть положительными, отрицательными или равняться нулю. Размерность и  [м³], [см³].

Если величины и известны, то координаты центра тяжести z_c , y_c сечения (рис. 13) определяются по формулам

; .

Если величины z_c , y_c известны, то статические моменты площади A определяются по таким формулам:

; ,

где z_c , y_c  расстояния от центра тяжести до осей Oz , Oy соответственно.

Из последних формул видно, что статические моменты площади относительно центральных осей (осей, которые проходят через центр тяжести) равняются нулю.

Рассмотрим пример (рис. 14). Определить: а) статический момент треугольника относительно оси, которая проходит через его основание, б) расстояние от основания до центра тяжести треугольника.

П о определению

где  площадь элементарной площадки;

b(y)  ширина треугольника на расстоянии у от оси Oz определяется из соотношения сторон подобных треугольников:

Рис. 14

, .

Отсюда

;

Следовательно, если статический момент известен, тогда

;

Для определения статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части (рис. 15), для каждой из которых известны площади A_i и координаты центров тяжести z_ci и y_ci.

Статический момент площади всей фигуры определяется как сумма статических моментов для каждой части:

,

.

Рис. 15

Координаты центра тяжести z_c и y_c всей фигуры определяем по таким формулам:

; .

В общем случае координаты центра тяжести сечения сложной формы вычисляются так:

; ,

где A_i  площади простых частей сечения; n  количество простых частей, из которых состоит сечение; z_ci и y_ci  координаты их центров тяжести в некоторой общей для всех частей системе координат zOy .

3.2. Моменты инерции плоских фигур

Осевые моменты инерции сечения  это геометрические характеристики, которые определяются интегралами

где dA  площадь элементарной площадки; y, z  расстояния от dA (рис. 16) до осей Oz и Oy соответственно.

Рис.16

Полярный момент инерции плоской фигуры относительно данной точки (полюса 0)  это геометрическая характеристика, определяемая інтегралом вида

,

где   радиус-вектор центра тяжести элементарной площадки dA.

Осевые и полярные моменты инерции могут иметь лишь положительные значения.

Если через полюс проведена система прямоугольных координатных осей z и y, то

,

тогда

.

Следовательно, полярный момент инерции равняется сумме осевых.

Центробежный момент инерции вычисляется по формуле

и в зависимости от положения осей может быть положительным, отрицательным или равняться нулю.

Вращая оси, можно найти такое их положение, при котором = 0. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями инерции. Главные оси, которые проходят через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями инерции.

Если сечение имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных центральных осей, другая  располагается перпендикулярно к первой и проходит через центр тяжести сечения.

Размерность , , ,  [м⁴], [см⁴].

Пример 1:

Определить момент инерции прямоугольника относительно центральных осей y, z, параллельных его сторонам (рис. 17).

Рис.17