1. Функція багатьох змінних. Границя функції багатьох змінних.

Озн: Позначимо через D множину упорядкованих пар чисел (х,у), якщо кожні пари (х,у) за певним правилом або законом відповідає єдине число, то кажуть, що на множині D|R² визначено функцію двох зміних z=f(x,y).

Озн: Графіком функції z=f(x,y) називаються множина точок Р(х,у, f(x,y)), яка утворює у просторі R³ певну поверхню, проекцію якої на площину xOy є множина D.

Узагальнюючи можна розглянути означення функції n змінних.

Озн: Нехай D множина, що складаеться з упорядкованих наборів n чисел (х₁,...,х_n). Якщо кожній точці (х₁, ... , х_n)D|Rⁿ за певним правилом відповідає єдине дійсне число, то кажуть, що на множині D визначена функція n змінних.

U=f (х₁, х₂, ... , х_n). Зрозуміло, що у випадку n3 графік функції побудувати неможливо.

Озн: Нехай задано т. М₀(х₀, у₀)R² , її -окіл будемо наз. множину точок М(x,y): ( М₀,М)=((х-х₀)²+(у-у₀)²)^1/2.

Тут ( М₀,М) – відстань від точками М,М₀.

Геометрично -окіл т. М₀ –це множина всіх внутрішніх точок круга з центром у точці М₀ радіуса .

Озн: Нехай задана послідовність М₁(х₁, у₁), ... , М_n(х_n, y_n), … -- послідовність довільних точок. Позначимо її через {M_n}^∞_n=1.

Кажуть що послідовність {M_n}^∞_n=1 – збігається дот. М₀(х₀, у₀), якщо для будь-якого існує =такий що для будь-якогоn виконується нерівність ( М_n,М₀). Це позначають lim М_n= М₀.

Озн: Нехай функція z=f(x,y) визначина на множині D і т. М₀D або М₀D, але у цьому випадку будь-який окіл т. М₀ містить точки із D. Число А називається границею функції z=f(x,y)=f(М) при М→ М₀, якщо для будь-якої послідовності точок {М_n}_n=1 де М_n→ М₀ (і М_n ≠ М₀) послідовність відповідних значень функції f(М_n _n=1 має границю А. Це позначають limf(М)= А.

Наведені означення називається означенням границі функції за Гейне або на “мові послідовностей”.Існує еквівалентне означення границі функції за Коші або на “мові -”.

Озн: Число А називається границею функції z=f(x,y)=f(М) при М→ М₀ , якщо для будь-якого її околу міститься хоча б одна точка множини D і  існує число , що  таке, що для всіх точок МD і задовольняють нерівність 0( М₀,М) виконується нерівність f(М)-А

Для функції багатоьх змінних по анології доводиться відповідні теореми про границі, зокрема

Теорема: Якщо функції z=f(x,y), z=g(x,y) визначені на одній множині D і мають у точці М₀ відповідні границі, відповідно, А і В, то в цій точці ф-ї f(x,y)±g(x,y), f(x,y)*g(x,y), f(x,y)/g(x,y) також мають у точці М ₀ границі, що відповідно = А±В, А*В,А/В(В≠0).

Озн: Ф-я α=α(x,y)=α(М) наз нескінченно малою у точці М ₀ якщо

Теорема: Для того щоб функція z=f(x,y)=f(М) мала в точці М ₀ границю А необхідно і достатньо щоб функція α(М)=f(М)-А була нескінченно малою у точці М ₀.