6. Екстремум ф-ї 2 змінних. Необхідні і достатні умови.

Означення: Нехай z=f(x,y) визначена в області D, а т. М₀(х₀, у₀)єD. Якщо існує такий окіл т. М₀ який цілком належить області D для всіх точок М якого відмінних від М₀ виконується нерівність f(М) f(М₀), то точка М₀ називається локальним мінімумом ф-ї z. Якщо за наведених умов для всіх точок М якого відмінних від М₀ виконується нерівність f(М)f(М₀), то точка М₀ називається локальним максимумом ф-ї z. Точки локального максимуму і мінімуму називаються точками екстремуму ф-ї.

Теорема 1(необхідні умови локального екстремуму): Якщо ф-я z=f(x,y) має в т. М₀(х₀, у₀) локальний екстремум, то в цій точці частинні похідні 1 порядку або =0 або не існують.

Доведення: Нехай т. М₀ – локальний екстремум ф-ї f(x,y). Зафіксуємо y_{0 .} Розглянемо ф-ю f(x,y₀). Це ф-я однієї змінної. Тоді за відповідною теоремою, оскільки в x₀ для цієї ф-ї буде екстремум, то (x₀,y₀)=0 або не існує. Аналогічно розглядаючи ф-ю одержимо, що f_у’(x₀,y₀)=0 або не існує.

Зауваження: Подібна теорема справедлива і для ф-ї n змінних.

Означення: точка М₀(х₀, у₀) в якій f_х’_М0 = f_у’_М0 = 0 – стаціонарна точка. Стаціонарні точки, а також точки в яких частинні похідні не існують – критичні точки. Таким чином, (із теор.1) якщо ф-я у якій-небудь точці має локальний екстремум, то ця точка є критичною. Як і для ф-ї однієї змінної обернене твердження не виконується.

Теорема 2 (перші достатні умови локального екстремуму): Нехай в стаціонарній точці М₀(х₀, у₀) і деякому її околі ф-я f(x,y) має неперервні частинні похідні 2 порядку. Позначимо через А (x₀, y₀), B (x₀, y₀), C (x₀, y₀), . Якщо   0, то f(x,y) має в точці М₀ локальний екстремум, причому, якщо А  0, то т. М₀ – точка локального мінімуму f(х,у), а якщо А0, то т. М₀ – точка локального максимуму f(х,у). У випадку коли 0 f(х,у) не має в точці М₀ локального екстремуму.

Теорема 3 (2 достатні умови існування екстремуму): Якщо М₀(х₀, у₀) – стаціонарна точка ф-ї z=f(х,у) і d²f(M₀), то точка М₀ точка локального мінімуму, якщо < 0, то локального максимуму.

7. Невласні інтеграли 1 роду.

Нехай f(x) визначена на [a;+), і інтегрована на будь-якому відрізку [a,b], де 0аb, якщо існує скінчена границя , то цю границю називають невласним інтегралом 1 роду і позначають (1).

Якщо границя в (1) існує і скінченна, то невласний інтеграл наз. збіжним, а ф-я f(x) інтегровна на [а;+ ].

Якщо вказана границя не існує або = , то невласний інтеграл (1) розбіжний, а ф-я f(x) неінтегровна на [а;+ ].Інтеграл (1) не є границею інтегральних сум як визначений інтеграл, а визнач. границя інтегралу із змінною верхнею межею інтегрування.

Геометрично невласний інтеграл визначає площу необмеженної обл.

Аналогічно в ф-лі (1) можна розглянути невласний інтеграл на проміжку [-, b].

= (2) Інтеграл, в якому нескінченні обидві межі інтегрування визначається так = + , (3) с-довільне число. В цьому випадку інтеграл вважається збіжним, якщо збігаються обидва невласних інтегралів у правій частині ф-ли (3). Можна довести, що інтеграл не залежить від вибору точки с, яка є довільною точкою на дійсній осі.

Теорема 1(ознака порівняння)

Нехай на [a,+) ф-ї f(x) і g(x) неперервні і додатні , і для хє[a,+) виконується нерівність 0f(x)g(x). Тоді із збіжності інтегралу випливає збіжність а із розбіжності випливає розбіжність Наведена теорема має наступний геом. зміст:

Якщо площа області, що обмежена графіком ф-ції g(x) – скінчене число то площа меншої області, що обмежена зверху графіком f(x) також скінченне число.

Якщо площа меншої області нескінченно велика величина то площа більшої за розміром є також нескінченно велика величина.

Теорема 2(гранична ознака порівняння):

Нехай ф-ї f(x) і g(x) неперервні і додатні на інтервалі [a,+) Якщо де (0К), f(x)0 і g(x)0 то інтеграли і або одночасно збігаються або одночасно розбігаються.

У теормах 1 і 2 розглядаються лише невласні інтеграли від невід’ємних ф-й. У випадку коли підінтегральна ф-я знакозмінна справедлива така теорема:

Теорема 3: Нехай ф-ція f(x) неперервна на проміжку [a;+). Якщо збігається , то збігається .

Твердження обернене до твердження теореми 3 є неправильним. Із збіжності взагалі не випливає збіжність

В зв’язку з цим існують спеціальні означення для цих випадків:

- якщо разом з інтегралом збігається , то наз. абсолютно збіжним.

- якщо збіжний а інтеграл то наз. збіжним умовно.

.