8. Невласні інтеграли 2-го роду.

Нехай ф-я f(x) визначена на проміжку [a,b) точку х=b назвемо особливою точкою ф-ції f(x) якщо lim f(x)= коли ^{х b->0}. Озн. Нехай f(x) визначена на проміжку [a,b) де точка b - особлива і інтегровна на будь-якому відрізку [a,b- ε). Якщо існує границя то її наз. невласним інтегралом 2-го роду і позначають .

Тобто за озн. = (1)

Якщо границя в (1)існує і скінченна, ф-цію f(x) наз. інтегровною на проміжку[a;b], а сам невласний інтеграл наз. збіжним. У випадку, якщо границя в (1) не існує або нескінченна,то ф-цію f(x) наз. неінтегровною на [a;b] а сам невласний інт-л наз-ся розбіжним.

:

Аналогічно визнач. Невласний інтеграл 2-го роду, якщо особливою є точка а.

= (2)

У випадку якщо особливими є точки а і в, невласний інтеграл визнач. Так

= +

(3)

де с – довільна точка із інтервала [a;b]

Інтеграл (3) вважаєм збіжним якщо збігаються обидва інтеграла у правій частині (3) Можна довести, що інтаграл (3) не залежить від вибору внутрішньої точки с. У випадку якщо особливою точкою є внутрішня точка відрізка [a;b] невласний інтеграл 2-го роду визнач так

= +

(4)

де т. с₀ – особлива точка ф-ції f(x). Інтеграл (4) вважають збіжним, якщо збігаються обидва інтеграли у правій частині (4)

Як і невласні інтеграли 1-го роду не є границями інтегральних сум, а визнач. як інтеграли із змінними межами інтегрування. Геом. зміст інтегралів (1) – (4) полягає в тому, щоб вони визначали площу необмеженої поверхні

Наведемо далі деякі достатні ознаки збіжності невласних інтегралів 2-го роду. Сформулюємо для інтегралів виду (1). Для виду (2) –(4) формулюються аналогічно.

Теорема 1( ознака порівняння)

Нехай ф-ції f(x) і g(x) додатні і неперервні на проміжку [a;b) і b – особлива точка 2-х ф-цій. Якщо для всіх х що належать [a;b) існує нерівність 0f(x)g(x) від збіжності інтегралу випливає збіжність . А із розбіжності випливає розбіжність . Наведена теорема має такий геом. зміст:

Якщо площа більшої за розміром обл. є скінченне число, то площа меншої обл. також скінченна. У випадку, якщо площа меншої обл. нескінченна величина, то площа більшої обл. також нескінченна.

.

Теорема 2 (гранична ознака порівняння)

Нехай ф-ції f(x) і g(x) неперервні додатні на проміжку [a;b) і т. в- особлива точка обох ф-цій. Якщо , то інтеграли і або одночасно збігаються, або одночасно розбігаються.

Наведені теореми 1 і 2 справедливі лише для додатніх ф-цій. Для знакозмінних ф-цій справедлива

Теорема 3: Нехай f(x) неперервна на проміжку [a;b), т. в – особлива. Якщо збігаеться то збігається і інтеграл . Твердження обернене до твердження данної теореми неправильне. Із збіжності не випливає збіжність

Відрізняють наступні випадки:

• якщо разом з інтегралом збігається інтеграл наз. абсолютно збіжним

• У випадку якщо збіг. а розбіжний, інтеграл наз. збіжним умовно.