Принцип составления и решения нелинейных уравнений
Уравнения, описывающие процессы в нелинейных электрических цепях, составляются по законам и теоремам электрических цепей для мгновенных значений токов и напряжений. Если цепь содержит только резистивные элементы, уравнения будут нелинейными алгебраическими, а для цепей с реактивными элементами - нелинейными дифференциальными. При описании в уравнениях нелинейных элементов используются аппроксимирующие выражения для этих нелинейных элементов. В общем случае решение нелинейных уравнений является сложной задачей и зависит от вида цепи, вида аппроксимирующей функции, вида поданных сигналов. Существуют различные приближённые методы решения таких уравнений, например:
понижение степени алгебраического или дифференциального уравнения ("отбрасывание" малых величин);
подстановка ожидаемого ответа при известном входном сигнале и определение параметров выходного сигнала.
Для простых входных сигналов, простых аппроксимирующих выражений анализ процессов в нелинейной цепи может быть проведён обычными методами решения уравнений, что поясняет пример.
Пример 2. Определить ток в нелинейной цепи (рис. 8.3), если на вход подано постоянное напряжение =1(В). Нелинейный элемент в цепи описывается выражением (8.12):
мА/В, R1 = 1 кОм.
Решение. Учитывая размерность характеристики нелинейного элемента, сопротивление в уравнениях необходимо брать в килоомах, а размерность тока будет миллиамперы. По второму закону Кирхгофа
.
Подставляя значения величин, получаем
Обозначив:
,
,
получаем решение
,
мА.
8.5. Анализ спектра выходного сигнала в нелинейных электрических цепях
Реальные нелинейные цепи проявляют нелинейные свойства при любых величинах сигналов. Однако для "малых" сигналов в расчётах может использоваться линейная схема замещения нелинейного элемента, при этом, согласно расчёту, новых частот в спектре выходного сигнала не образуется.
Для анализа нелинейных свойств и оценки возможности практического применения в различных функциональных узлах необходимо использовать при анализе аппроксимирующие выражения. Довольно просто проводить спектральный анализ при полиномиальной аппроксимации. Предположим, что ВАХ нелинейного элемента описывается полиномом произвольной степени:
,
а на вход подан гармонический сигнал.
(8.13)
При анализе можно использовать известные тригонометрические преобразования, например:
(8.14)
При подстановке гармонического сигнала в аппроксимирующее выражение получается зависимость для выходного тока
.
(8.15)
Преобразования, типа (8.14), позволяют сделать следующие выводы по спектру выходного сигнала при гармоническом сигнале:
максимальный номер расчётной гармоники равен максимальной степени аппроксимирующего полинома;
чётные степени полинома дают при расчёте чётные гармоники и постоянную составляющую, а нечётные степени - нечётные гармоники.
На вход нелинейной цепи могут быть поданы несколько гармонических сигналов разных частот или сигналы произвольной формы. В этом случае спектр выходного сигнала помимо гармоник входных сигналов содержит колебания комбинационных частот с различными комбинациями входных частот
=
±
±
±
± ... ,
где , , ... – целые числа.
Пример
3. Вольтамперная характеристика
нелинейного элемента соответствует
выражению (8.12)
.
Входной
.
Определить спектральный анализ входного
сигнала.
Решение. Подставив выражение для входного сигнала в аппроксимирующее выражение, получаем:
Спектральный анализ сигналов на выходе нелинейных цепей можно также проводить с помощью рядов или интегралов Фурье (см. разд. 7), если известна временная диаграмма выходного сигнала.