6.2. Анализ спектра импульсной последовательности
Пусть
анализируется сложный периодический
сигнал
,
представленный на рисунке 6.1, б (нечетный
без постоянной составляющей). Сигнал
в пределах периода описывается выражением
.
Амплитуды синусных составляющих спектра по выражению (6.4)
.
Или, проинтегрировав, получаем
.
Подставляя пределы интегрирования и произведя замену , получаем
,
где n = 1, 2, ... .
Запись спектрального представления сигнала имеет вид
.
(6.11)
Н
а
рисунке 6.2, а, б приведен амплитудный и
фазовый спектр анализируемого сигнала
для полученного выражения.
а) б)
Рис. 6.2
Из проведенного анализа следует, что частоты гармоник определяются периодом сигнала; «скорость» уменьшения амплитуды огибающих зависит от длительности импульсов в импульсной последовательности. Чем короче импульс - тем «медленнее» уменьшаются амплитуды высших гармоник.
6.3. Анализ линейной цепи при сложном периодическом воздействии
Анализ для линейной цепи проводится методом наложения, причем, предварительно должна быть решена задача первого этапа - найдено спектральное представление сложного периодического воздействия. При спектральном представлении число спектральных составляющих равно бесконечности, однако в расчетах количество составляющих ограничивают, например, до 3 5.
Анализ линейной цепи при сложном периодическом воздействии рассмотрен в примере 1.
Пример 1. Эквивалентная схема линейной цепи приведена на (рис. 6.3). Значения элементов: = 1 мкГн, = 100 Ом.
Входной сигнал соответствует (рис. 6.1, б), его параметры:
=
1 В,
рад/с.
Определить ток в цепи для первых трех
гармоник.
Рис. 6.3
Решение. Запись первых трех гармоник входного сигнала для заданных параметров в соответствии с выражением (6.11)
.
Входное комплексное сопротивление для схемы (рис. 6.3)
,
а частотная зависимость тока для произвольной частоты
.
(6.12)
По выражению (6.12) определяем комплексные амплитуды тока гармоник по входным амплитудам напряжения гармоник, учитывая, что частота гармоник отличается.
,
.
,
.
,
.
Результирующий
ток:
6.4. Контрольные задания:
а) пояснить смысл величин, введенных в выражениях (6.1)-(6.7);
б) пояснить в общем виде спектр сигнала, изображенного на (рис. 6.1, а);
в) рассчитать в общем виде спектр сигнала, изображенного на (рис. 6.1, в);
г) составить и решить задачу анализа RC-цепи. Характеристики входного сигнала выбрать самостоятельно или взять из примера 1.
7. Переходные процессы в линейных электрических цепях (анализ импульсных воздействий)
Общие сведения и математический аппарат.
В реальных электрических цепях сигналы длятся не бесконечно, так как происходят их включения или выключения, а также могут осуществляться переключения пассивных элементов. При переключениях (коммутациях) происходит переход цепи от одного установившегося состояния к другому и необходимо знать:
- вид переходных процессов на разных участках цепи;
- время завершения переходного процесса (время установления);
- максимальные значения токов и напряжений при переходных процессах.
Анализ переходных процессов чрезвычайно важен, так как длительность переходных процессов определяет готовность радиоаппаратуры к работе, а «броски» токов и напряжений могут вывести радиоэлементы из строя.
Переходный процесс объясняется изменением энергетических состояний реактивных элементов цепи, поэтому в идеальной цепи, состоящей только из рзистивных элементов, переходные процессы отсутствуют.
Основные определения:
,
- время, соответственно, непосредственно
до и после переключения;независимые начальные условия - начальные условия для момента времени ;
зависимые начальные условия - начальные условия для момента времени ;
электрическая цепь с нулевыми начальными условиями - в момент времени реактивные элементы не имели энергии;
электрическая цепь с ненулевыми начальными условиями - в момент времени некоторые реактивные элементы имели запас энергии;
корректные переключения (коммутации) - законы коммутации не противоречат основным законам цепей и их можно применять для анализа;
некорректные коммутации - законы коммутации противоречат ТЭЦ и для анализа необходимо вначале применить более общие принципы непрерывности потокосцепления и заряда.
Исходные моменты для анализа:
в большинстве случаев анализируются подключения (отключения) источников энергии (источников сигналов) произвольной формы, т.е. сигналы в цепи не длятся от - ∞ до + ∞;
анализ может также производиться при некоммутируемом источнике энергии произвольного вида, но при этом происходит переключение элементов, что вызывает переходные процессы;
источники электрической энергии (источники сигналов) в электрической цепи имеют конечную мощность, откуда следуют принципы непрерывности и законы коммутации, применяемые при анализе.
Из ограничения по мощности источников энергии в электрической цепи следует, что энергия, запасенная в реактивных элементах при переключениях скачком изменится не может, т.е.
Энергия реактивных элементов выражается в виде
откуда получаются принципы непрерывности заряда и потокосцепления и законы коммутации
Математический аппарат, используемый при анализе:
классический способ решения линейных дифференциальных уравнений;
интегральные преобразования Фурье;
интегральные преобразования Лапласа;
интегралы наложения.
В соответствии с используемым математическим аппаратом нашли применения четыре метода анализа переходных процессов, которые можно назвать: классический, частный, операторный, временной. Выбор метода анализа зависит от его трудоемкости при решении конкретной задачи. При анализе достаточно любым методом найти переходной процесс для одного из токов (напряжений) электрической цепи, остальные величины определяются затем по законам теории цепей.