7.3 Частотный метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях

В теории цепей данный метод применяется для цепей с нулевыми начальными условиями, т.к. в методе используются частотные характеристики, ''введенные'' при нулевых начальных условиях цепей. Анализ может производиться для любых сигналов, для которых можно применять преобразования Фурье. Чаще метод используется при импульсных воздействиях.

Пара преобразований Фурье получается из выражений (6.6), (6.7) при условии (сложный периодический сигнал преобразуется в непериодический).

Преобразования Фурье имеют вид (на примере напряжения)

Выражение (7.12) заменяет сигнал ''копией'' в частной области и называется прямым преобразованием Фурье или спектральной плотностью, т.е. плотностью распределения амплитуд сигнала в единичной полосе частот.

В отличие от спектрального анализа сложных периодических сигналов, в данном случае нет отдельных гармонических составляющих и появились отрицательные ''расчетные'' частоты. Спектральная плотность, в общем случае, является комплексной величиной, т.е. состоит из модуля и аргумента (фазы).

Выражение (7.13) называется обратным преобразованием Фурье и служит для преобразования сигнала вновь во временной вид.

Принцип анализа с использованием преобразований Фурье следующий:

• определяется спектральная плотность (частотный «состав»)входного сигнала с помощью прямого преобразования Фурье;

• определяется требуемая комплексная передаточная характеристика цепи по эквивалентной схеме;

• определяется спектральная плотность выходного сигнала:

(7.14)

• определяется временной входной сигнал с помощью обратного преобразования Фурье.

Пример 6. Одиночный импульс длительностью t_имп, амплитудой Е (рис. 7.5, а), подан на электрическую цепь, схема которой показана на рис 7.5, б. Определить частотным методом в общем виде напряжение на сопротивлении.

u_вх(t) L

Е u_вх(t) R

t_имп t

а) б)

Рис. 7.5

Решение. В соответствии с принципом анализа частотным методом

;

;

;

7.4. Операторный метод анализа переходных процессов в линейных электрических цепях.

Метод применяется для электрических цепей с нулевыми и ненулевыми начальными условиями и для сигналов, для которых существуют ''операторные'' изображения. В операторном методе обычно используется пара преобразований Лапласа, которые являются более общим случаем интегральных преобразований Фурье. Если временной сигнал - напряжение, то пара преобразований Лапласа имеет вид

, (7.15)

. (7.16)

Выражение (7.15) - прямое преобразование Лапласа заменяет сигнал ''копией'' в комплексной плоскости (''изображением''). Сам временной сигнал принято называть оригиналом. Переход во временную область осуществлен использованием выражения (7.16) или другими методами. Оператор ''р'' в преобразованиях (7.15), (7.16) называется оператором Лапласа или комплексной частотой.

В силу интегрального характера прямого преобразования Лапласа, все законы и теоремы цепей справедливы в операторной форме записи.

Операторные сопротивления реактивных элементов (при нулевых начальных условиях) имеют вид

, (7.17)

. (7.18)

а изображения сигналов могут быть получены использованием выражения (7.15).

Пример 7. Определить изображение временного сигнала, если сигнал- постоянное напряжение (Е), включаемое в момент времени t = 0.

Решение.

Пример 8. Определить изображение временного сигнала, если сигнал - , включенный в момент времени t = 0.

Решение.

.

Операторный метод анализа применяется не только для анализа переходных процессов, но и для различных расчетов операторных характеристик.

Для обратного перехода во временную область в практических расчетах используют формулы разложения.

Формула 1 . Если изображение имеет вид

,

где m(p), n(p) - многочлены, то

(7.19)

В выражении (7.19) р₁, р₂... р_n - корни знаменателя n(p).

Формула 2. Если изображение имеет вид

,

то есть имеется нулевой корень знаменателя, то

. (7.20)

В выражении (7.20) р₁, р₂... р_n - корни знаменателя F(p).

Принцип анализа операторным методом:

• составляется операторная схема замещения;

• методами теории цепей в операторной форме определяется искомая величина;

• определяется временной сигнал.

Пример 9. В общем виде определить ток в цепи операторным методом, используя условия примера 1.

Решение. Операторная схема замещения приведена на рисунке 7.6.

pL

R

I(p)

Рис. 7.6

Из анализа схемы ;

Используя выражение (7.20), .