Метод наименьших квадратов

1) Выравнивание по прямой.

Пусть дана таблица (1). Построим на пл–ти точки (х_і;у_і). Предположим, что точки распологаются вдоль некоторой прямой у=ах+b. Переберем параметры а и b таким образом, чтобы прямая наиболее близко подходила к данным точкам.

Е₁=ах₁+b-y₁

Е₂=ах₂+b-y₂

……………………….

Е_n=ах_n+b-y_n Для определения параметров а и b используем метод наименьших квадратов. Суть метода в том, чтобы определить а и b так, чтобы сумма квадратов отклонений была наименьшей. Выясним при каких значениях а и b ф–ция Ф(а;b) принимает наименьшее значение

Найдём критические точки:

Это нормальная система метода наименьших квадратов.

Решив эту систему найдём координаты критических точек. Можно док–ть, что в найденной критической точке ф–ция Ф(а;b) имеет min.2) Выравнивание по параболе y=ax²+bx+c. По аналогии с линейной ф–цией составляем ф–цию Ф(a,b,c)? которая даёт сумму квадратов отклонений, и находим её наименьшее значение:

Найдя частные производные и приравняв их к нулю, после преобразований получим линейную систему трёх уравнений с тремя неизвестными a,b,c:Можно док–ть, что определитель этой системы не равен нулю, а следовательно, система имеет единственное решение.

2.6. Интегрирование тригонометрических функций. J – знак интеграла

Интегралы вида J sinaxcosbxdx, J cosaxcosbxdx, Jsinaxsinbxdx, где a≠b, находятся с помощью формул:

sinaxcosbxdx=1/2(sin(a-b)x+sin(a+b)x),cosaxcosbxdx=1/2(cos(a-b)x+cos(a+b)x), sinaxsinbxdx=1/2(cos(a-b)x-cos(a+b)x).

Интегралы вида J R(sinx,cosx)dx, где R - рациональная функция, приводятся к интегрированию рациональных функций с помощью подстановки tgx/2=t, так как J R(sinxcosx)dx=2J R(2t/(1+t²),(1-t²)/(1+t²)) dt/(1+t²). Данная подстановка, являющаяся универсальной для интегралов этого типа, приводит иной раз к сложным выкладкам. В таких случаях используются более простые подстановки. Если выполнено рав-во R(-sinx,cosx)= - R(sinx,cosx) или R(sinx, - cosx)= - R(sinx,cosx), то применяют подстановку cosx=t либо sinx=t. Если выполнено рав-во R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx), то интеграл приводят интегралу от рациональной дроби с помощью подстановки tgx=t, т.к. в этом случае R(sinx,cosx)=R(tgx), dx=dt/(1+t²)

1.5.3.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных

Наибольшее и наименьшее значение функции двух переменных z = f(x,y) в непрерывном на некотором замкнутом множестве Х (глобальный max и глобальный min) достигают в точках или в точках экстремумов, или на границе области.

Условный экстремум

Пусть дана функция 2-х переменных z = f(x,y), аргументы которой х и у связаны соотношением g(x,y)=0(которое называется уравнением связи). Тогда задача нахождения экстремума функции z = f(x,y) при условии, что g(x,y)=0, называется задачей на условный экстремум.

а) Один из алгоритмов решения этой задачи сводится к

z = f(x, ), получаем функцию одной переменной.

б) Метод множителей Лагранжа

Строим функцию

-функция 3-х переменных

Находим частные производные:

Находим точки экстремумов

Далее - проверка достаточности условий для функции 3-х переменных.