- •1.1.Понятие функции нескольких переменных.
- •1.4 Полный дифференциал.
- •1.5.1 Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- •1.5.2 Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
- •4.4.Ду 2 порядка, допускающие понижение порядка
- •3.2 Свойства определенного интеграла.
- •5. 3.3 Фомула Ньютона-Лейбница
- •3.5 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •3.6 Приложение определенного интеграла в геометрии
- •4.3Линейные ду первого порядка
- •3.8 Несобственные интегралы.
- •Интегралы с бесконечными пределами.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченной функции.
- •1.5 Методы наименьших квадратов…
- •Метод наименьших квадратов
- •2.6. Интегрирование тригонометрических функций. J – знак интеграла
- •1.5.3.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных
- •5.5Признак сравнения рядов
- •4.5. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, осн.Св-ва.
- •4.7Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
- •5.2Сумма ряда.
- •5.1 Понятие числового ряда и сумма ряда.
- •6.2.Теорема Абеля.
- •6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
- •2.4. Интегрирование по частям и б)замена переменной в неопределенном интеграле. J – знак интеграла
- •6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
- •6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •2.2.Основные св–ва неопределённого интеграла:
- •6.4.Свойства степенных рядов .
1.4 Полный дифференциал.
О. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности в точки . Функция f(x) называется дифференцируемой в точке , если ее приращение в этой точке , где представлено в виде (1)
Где А – постоянная величина, не зависящая от , при фиксированной точке х, - бесконечно малая при . Линейная относительно функция А называется дифференциалом функции f(x) в точке и обозначается df( ) или dy.
Таким образом, выражение (1) можно записать в виде ( ).
Дифференциал функции в выражении (1) имеет вид dy = A . Как и всякая линейная функция, он определен для любого значений в то время, как приращение функции необходимо рассматривать только для таких , для которых + принадлежит области определения функции f(x).
Для удобства записи дифференциала приращение обозначают dx и называют его дифференциалом независимой переменной x. Поэтому дифференциал записывают в виде dy = Adx.
Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого интервала, то ее дифференциал является функцией двух переменных – точки x и переменной dx:Dy = Adx.
Т.Для того, чтобы функция y = g(x) была дифференцируема в некоторой точке , необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную, при этом
(2)
(*)Доказательство. Необходимость.
Пусть функция f(x) дифференцируема в точке , т.е. . Тогда
.Поэтому производнаяf’( ) существует и равна А. Отсюда dy = f’( )dx
Достаточность.Пусть существует производная f’( ),т.е. = f’( ). Тогда Где - бесконечно малая и .Значит,для имеем (3)
А так как - величина бесконечно малая, то наличие равенства (3) и означает дифференцируемость функции в точке . Формула (2) позволяет находить дифференциалы функций, если известны их производные. Так, например, используя производные некоторых элементарных функций, получаем : dc = 0 (с - постоянная), dsinx = cosxdx, и т.д.
Геометрический смысл дифференциала функции в точке - это приращение ординаты касательной к кривой в этой точке.
Если предположить, что функция y =f(x) сложная, т.е. , то производная
примет вид согласно правилам нахождения производной сложной функции. В этом случае выражение (2) можно записать так:
(*) где - сложная функция.
Приближенное вычисление с помощью дифференциала.
Согласно выражению (1), приращение функции f(x) можно записать в виде, откуда (4)
Формула (4) служит для приближенных вычислений значений функции в заданной точке. По сути дела это уравнение касательной к кривой y = f(x) в точке , т.е. мы приближенно заменяем на участке кривую y = f(x) отрезком касательной. Для вычисления значения функции в точке х берут в некоторой ее окрестности точку , такую, что не составляет труда найти f( ) и f’( )/
1.5.1 Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
Т. Если ф–ция z=f(x;y) имеет в т.М0(х0;y0) экстремум и в этой точке конечный частные производные 1–ого порядка, то они =0, т.е. f 'x(x0;y0)=0 и f 'y(x0;y0)=0.
Док–во: рассмотрим в окрестности т.М0 только те точки, для которых у=у0. Тогда мы получим ф–цию f (x0;y0) одной переменной и т.к. эта ф–ция в т.М0 имеет экстремум при х=х0, то её первая производная f 'x(x0;y0)=0.
Аналогично можно показать, что в тМ0 f 'y(x0;y0)=0
Точки, в которых частные производные 1–ого порядка обращаются в 0 называются критическими или подозрительными на экстремум.