- •1.1.Понятие функции нескольких переменных.
- •1.4 Полный дифференциал.
- •1.5.1 Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- •1.5.2 Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.
- •4.4.Ду 2 порядка, допускающие понижение порядка
- •3.2 Свойства определенного интеграла.
- •5. 3.3 Фомула Ньютона-Лейбница
- •3.5 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.
- •3.6 Приложение определенного интеграла в геометрии
- •4.3Линейные ду первого порядка
- •3.8 Несобственные интегралы.
- •Интегралы с бесконечными пределами.
- •2. Несобственные интегралы от неограниченной функции.
- •1.5 Методы наименьших квадратов…
- •Метод наименьших квадратов
- •2.6. Интегрирование тригонометрических функций. J – знак интеграла
- •1.5.3.Наибольшее и наименьшее значение функции 2-х переменных
- •5.5Признак сравнения рядов
- •4.5. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, осн.Св-ва.
- •4.7Линейные нердн. Ур-ния 2-го порядка
- •5.2Сумма ряда.
- •5.1 Понятие числового ряда и сумма ряда.
- •6.2.Теорема Абеля.
- •6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
- •2.4. Интегрирование по частям и б)замена переменной в неопределенном интеграле. J – знак интеграла
- •6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
- •6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •2.2.Основные св–ва неопределённого интеграла:
- •6.4.Свойства степенных рядов .
6.2.Теорема Абеля.
1) Если степенной ряд anxn сходится при x=x0, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|
2) Если же ряд anxn расходится при x=x1 , то он расходится при всех x , удовлетворяющих условию |x|>|x1|
Док-во (основано на свойствах последовательностей).
1)Так как числовой ряд anx0n сходится, то anx0n =0. Это означает, что числовая последовательность {anx0n} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде
a0 + a1x0 (x/x0) + a2x02(x2/x02) +…+…= anx0n (x/x0)2
Рассмотрим ряд из абсолютных величин.
|a0| + |a1x0 (x/x0) | + |a2x02(x2/x02) | +…+…<= M + M| x/x0| + M| x/x0|2 +…= M(1+q+ q2+…)
Это геометрическая прогрессия с q=(x/x0)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда.
2) 2-ая часть теоремы. От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x*, | x*|> x1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x* . В том числе должен сходится
и при x= x0, так как | x |< | x*| . Но это противоречит
предположению теоремы. Теорема доказана.
6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
Разложение ф-ций в степенные ряды позволяет применять эти ряды для приближенного вычисления значений ф-ций,определенных интегралов,решения дифференциальных уравнений.Для вычисления приближенного значения ф-ции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают.Чтобы получить погрешность найденного приближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов.Если данный ряд знакопостоянный ,то ряд, составленный из отброшенных членов,сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.Если ряд знакопеременный и члены его удовлетворяют признаку Лейбница,то ипользуется оценка
∆<|un+1|, где un+1 – первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.
2.4. Интегрирование по частям и б)замена переменной в неопределенном интеграле. J – знак интеграла
А)Теорема. Пусть U(x), V(x) – дифференцируемые функции на некотором промежутке Х и на этом промежутке существует J VdU, тогда на нем существует J UdV и имеет место J UdV= UV – J VdU.
Док-во. Найдем дифференциал от произведения функции UdV.
d(VU)=(UV)’dx–(U’V+UV’)dx=VU’dx+UV’dx=VdU+UdV;d(UV)=VdU+UdV; UdV=D(UV) – VdU; проинтегрируем обе части этого рав-ва: J UdV=J d(UV) – JVdU;
J UdV= UV- J VdU
Большую часть интегралов, которую находят с помощью формулы интегрирования можно разделить на 3 группы:
I. J P(x) arcsinxdx
J P(x) arccosxdx
J P(x) arctgxdx
J P(x) arcctgxdx
за U берем обратную тригонометрическую функцию
II. J P(x)sinαxdx; J P(x) cosαxdx; J P(x) eαxdx – за U берем P(x)
III. J eαx*sinβxdx; Jeαxcosβxdx – за U- любую тригонометрическ. Функцию. В этом случае интегриров. по частям след. примен. дважды.
Б) Метод подстановки заключается в том, что переменную интегрирования х заменяют другой переменной t при помощи формулы t=Y(x), где Y(x) - дифференцир. фун-ция. Можно производить замену выражая не t через х, а х через t с помощью формулы x=ψ(t),