Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоры матем 2.doc
Скачиваний:
7
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
1.33 Mб
Скачать

6.2.Теорема Абеля.

1) Если степенной ряд   anxn сходится при x=x0, то он сходится причем абсолютно для всех x , удовлетворяющих неравенству |x|<|x0|

2) Если же ряд anxn расходится при x=x1 , то он расходится при всех x , удовлетворяющих условию |x|>|x1|

Док-во (основано на свойствах последовательностей).

1)Так как числовой ряд anx0n сходится, то anx0n =0. Это означает, что числовая последовательность {anx0n} ограничена.Тогда перепишем степенной ряд в виде

a0 + a1x0 (x/x0) + a2x02(x2/x02) +…+…= anx0n (x/x0)2

Рассмотрим ряд из абсолютных величин.

|a0| + |a1x0 (x/x0) | + |a2x02(x2/x02) | +…+…<= M + M| x/x0| + M| x/x0|2 +…= M(1+q+ q2+…)

Это геометрическая прогрессия с q=(x/x0)<1—сходится. Из признака сравнения следует абсолютная сходимость степенного ряда.

2) 2-ая часть теоремы. От противного. Пусть степенной ряд сходится при некотором x*, | x*|> x1. Но тогда согласно 1-ой части теоремы, степенной ряд сходится для всех | x |< x* . В том числе должен сходится

и при x= x0, так как | x |< | x*| . Но это противоречит

предположению теоремы. Теорема доказана.

6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений

Разложение ф-ций в степенные ряды позволяет применять эти ряды для приближенного вычисления значений ф-ций,определенных интегралов,решения дифференциальных уравнений.Для вычисления приближенного значения ф-ции в ее разложении в степенной ряд сохраняют первые n членов, а остальные члены отбрасывают.Чтобы получить погрешность найденного приближенного значения, нужно оценить сумму отброшенных членов.Если данный ряд знакопостоянный ,то ряд, составленный из отброшенных членов,сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.Если ряд знакопеременный и члены его удовлетворяют признаку Лейбница,то ипользуется оценка

∆<|un+1|, где un+1 – первый из отброшенных членов, т.е. ошибка приближенного вычисления не превосходит абсолютной величины первого из отброшенных членов.

2.4. Интегрирование по частям и б)замена переменной в неопределенном интеграле. J – знак интеграла

А)Теорема. Пусть U(x), V(x) – дифференцируемые функции на некотором промежутке Х и на этом промежутке существует J VdU, тогда на нем существует J UdV и имеет место J UdV= UV – J VdU.

Док-во. Найдем дифференциал от произведения функции UdV.

d(VU)=(UV)’dx–(U’V+UV’)dx=VU’dx+UV’dx=VdU+UdV;d(UV)=VdU+UdV; UdV=D(UV) – VdU; проинтегрируем обе части этого рав-ва: J UdV=J d(UV) – JVdU;

J UdV= UV- J VdU

Большую часть интегралов, которую находят с помощью формулы интегрирования можно разделить на 3 группы:

I. J P(x) arcsinxdx

J P(x) arccosxdx

J P(x) arctgxdx

J P(x) arcctgxdx

за U берем обратную тригонометрическую функцию

II. J P(x)sinαxdx; J P(x) cosαxdx; J P(x) eαxdx – за U берем P(x)

III. J eαx*sinβxdx; Jeαxcosβxdx – за U- любую тригонометрическ. Функцию. В этом случае интегриров. по частям след. примен. дважды.

Б) Метод подстановки заключается в том, что переменную интегрирования х заменяют другой переменной t при помощи формулы t=Y(x), где Y(x) - дифференцир. фун-ция. Можно производить замену выражая не t через х, а х через t с помощью формулы x=ψ(t),