4.4.Ду 2 порядка, допускающие понижение порядка

1.y``=f(x), y`=p,где p=p(x); y``=p`;

p`=f(x); dp/dx=f(x) отсюда p= ; y`= ; dy/dx= ; dy= )dx интегрируем,:

2. y``=f(x,y`), y`=p; p=p(x); y``=p`

p`=f(x,p(x)); интегрируем, p=

подставляем y`, все аналогично отсюда ответ:

y=

3. y``=f(y,y`), y`=p; p=p(y) – сложная ф-я y

y``=p`y`=p`p; p`p=f(y,p) или (dp/dy)*p(y)=f(y,p(y)).

P=

P заменяем на y` получим

x=

3.2 Свойства определенного интеграла.

1По определению полагают: 2.

3.Каковы бы ни были точки a, b, c, имеет место равенство: ,при усл, что все эти интегралы существуют. Д-во: Пусть a<c<b, т.к. предел интегральн. суммы не зависит от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки, то будем проводить разбиение так, чтобы точка c всегда была точкой разбиения отрезка [a, b]. Пусть с=x_m, тогда интегральн. сумму для функции f(x) на отрезке [a, b] представим в виде

(3)

Перейдем к пределу при в равенстве (3)

, т.к. по условию все три интеграла существуют, то из последнего равенства следует

4.

5. 3.3 Фомула Ньютона-Лейбница

Теорема: Пусть ф-ция f(x) непрерывна на [a, b], тогда, если ф-ция F(x) явл. нек-рой первообразной для f(x) на [a, b], то = F(b) – F(a). Доказательство: т.к. ф-ция f(x) непрерывна на [a, b], то ф-ция , где х[a, b] явл. первообразной для ф-ции f(x). С др. стороны, т.к. Ф(х) и F(x) две первообразные, то Ф(х) = F(x) + C или = F(x) + C. (1). В равенстве (1) положим х = а, получим 0 = F(a) +C  C = - F(a). Подставим в равенство (1) найденное значение с. Получим: = F(x) – F(a). (2). В равенстве (2) полагаем х = в, получим = F(b) – F(a). Переобозначим в интеграле переменную t на х. Получим = F(x) = F(b) – F(a).

3.5 Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле.

1. Замена переменной. Теорема: Пусть f(x) непрерывная на [a, b] ф-ция. Тогда, если: 1) ф-ция х = (t) дифференцируема на [, ] и ’(t) непрерывна на [, ]. 2) множеством значений ф-ции (t) явл. [a, b]. 3) () = a, () = b. То справ-ва формула = .

2. Интегрирование по частям

Теорема: Если ф-ции U = U(x) и V = V(x) имеют непрерывные производные на [a, b], то справедлива формула = U*V - .

Доказательство: Т.к. (U*V)’ = U’*V + U*V’ и в этом равенстве все ф-ции интегрируемы на [a, b], т.к. они непрерывны по усл. Теоремы, то, проинтегрировав это равенство на [a, b], получим = +  UV = + . Получим формулу: = UV -

4.2 ДУ первого порядка. Задача и теорема Коши. Уравнение с разделяющимися переменными.

ДУ первого порядка – уравнение вида F(x,y,y`)=0 (y`=f(x,y), f(x,y)dy+(x,y)dy =0).

Задача Коши: найти решения ДУ y`=f(x,y), удовлетворяющее начальному условию y(x<sub>o</sub>)=y<sub>o</sub>, где x<sub>o,</sub> y<sub>o</sub> – данные числа. Геометрически: найти интегральную кривую, проходящую через точку (x<sub>o,</sub> y<sub>o</sub>). Теорема Коши: Если в уравнении y`=f(x,y) функция f(x,y) и ее частная производная f `_y(x,y) непрерывны в некоторой замкнутой области D и точка (x_o, y_o)  D,то существует единственное решение y=(x), удовлетворяющее начальному условию y(x_o)=y_o. Общим решение ДУ называется функция y=(x,с), удовлетворяющее следующим свойствам: 1. Функция y=(x,с) является решением ДУ при любом постоянном с. 2. Для любого начального условия y(x_o)=y_o существует единственное значение с=с_о, при котором решение y=(x,с_о) удовлетворяет заданному начальному условию.

Частным решением называется любое решение полученное из общего при конкретном значении с.

ДУ с разделяющимися переменными.

P(x)*Q(y)dy+M(x)*N(y)dx=0. Разделим обе части уравнения на произведение P(x)*N(y): . Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя обе части этого уравнения получим общий интеграл уравнения .