1.5.2 Достаточное условие экстремума ф–ции двух переменных.

Пусть т.М₀(х₀;у₀) – критическая точка, т.е. f '_х(x₀;y₀) в этой точке =0 и f '_y(x₀;y₀)=0 и в некоторой окрестности точки М₀ и в самой точке М₀ ф–ция имеет вторые частные производные: f ^''_xx, f ^''_xy, f ^''_yy. Тогда если определитель

,

то ф–ция в точке М₀ имеет экстремум и если:

>0, то это минимум

<0, то это максимум

Если Δ<0, то экстремума нет.

Если Δ=0, то вопрос об экстремуме остаётся открытым: требуется дополнительное исследование.

2.1Первообразная ф–ция, неопределённый интеграл и их св–ва

Опр. Ф–ция F(x) называется первообразной для ф–ции f(x) на некотором промежутке Х, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство: F'(x)=f(x)/

Задача об отыскании первообразной для данной ф–ции f(x) решается неоднозначно, т.к. если F(x) является первообразной для f(x), то ф–ция F(x)+C тоже является первообразной для f(x), т.к. (F(x)+C)'=F'(x)=f(x).

Т. Если F(x)–первообразная для f(x) на некотором промежутке Х, то всякая другая первообразная дляf(x) на этом промежутке может быть представлена ввиде F(x)+C.

Док–во: Пусть Ф(х)–другая первообразная.

Тогда (Ф(х)–F(x))'=Ф'(х)– F'(x)= f(x)– f(x)=0.

Итак мы получили, что производная этой ф–ции Ф(х)– F(x)=0, следовательно эта ф–ция равна постоянной, т.е. Ф(х)– F(x)=С

Ф(х)= F(x)+С ч.т.д.

Опр.Множество всех первообразных для ф–ции f(x) называется неопределённым интегралом от ф–ции f(x) и обозначается

f(x)–подинтегральная ф–ция

f(x)dx–подинтегральное выражение

x– переменная интегрирования

Отыскание неопределённого интеграла от подынтегральной ф–ции называется интегрированием этой ф–ции.

2.5Интегрирование рациональных функций, б) некоторых иррациональных. J – знак интеграла

А)Интегрирование рациональной функции после выделения целой части сводится к интегрированию правильной рациональной дроби P(x)/Q(x), где P(x),Q(x) – многочлены, причем степень числителя ниже степени знаменателя. Решается данная задача с помощью метода неопределенных коэффициентов.

Если знаменатель разлаживается на множители Q(x)=(x-a)^α(x-b)^β...(x2+px+q)^γ...(x2+kx+r)^δ , то правильная дробь раскладывается на сумму простых дробей: P(x)/Q(x)=A₁/(x-a)+A₂/(x-a)²+...+A_α/(x-a)^α+B₁/(x-b)+B₂/(x-b)²+...+B_β/(x-b)^β+..., где α, β принадлежат N. Для вычисления неопределенных коэффициентов обе части равенства умножением его на знаменатель приводят к целому виду, а затем приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях х (первый способ). Можно также определять эти коэффициенты, полагая в равенстве х равным числам, подобранным соответствующим образом (второй способ).

Б) Интегралы вида J R(x, ((ax+b)/(cx+d))^p/q,....,((ax+b)/(cx+d))^s/r) dx, где R – рациональная функция, p,q,s,r – целые числа. Этот интеграл находится с помощью подстановки t=корень m-ой степени из ((ax+b)/(cx+d)), m - наименьшее общее кратное чисел q,...,r.

3.1 Определенный интеграл

Пусть ф. у = f(х) опр-на на отр. [а; b]. Разобьем отрезок [а; b] на n произвольн. частей точками а = x₀<x₁<x₂<…<x_n = b. Точки x_0, x₁, x₂,…,x_n наз-ся т-ми разбиения. В каждом из полученных частичн. отр-в [x_i-1; x_i] выберем произв. образом точку ξ, x_i-1 ≤ ξ ≤ x_i. Длину частичн. отр. обозначим ∆x_i = x_i - x_i-1. Сост-м сумму (1): σ = f(ξ₁) ∆x₁ + f(ξ₂) ∆x₂ +…+f(ξ_n) ∆x_n = . Сумма «сигма» назыв-ся интегральной суммой для функции f(x) на отрезке [a, b] соотв-щей данному разбиению отрезка [a, b] на частичн. отр-ки и данному выбору точек ξ_i.Обозначим через λ длину наибольшего отрезка разбиения.

Опр-е: Если сущ-ет конечный независящий от способа разбиения отрезка [a, b] на частичные отрезки и от выбора точек ξ_i соответствующих частичных отрезков [x_i-1; x_i] предел интегральной суммы (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) на пром-ке от a до b и обозн-ся (2)В этом случае ф-ция называется интегрируемой на отрезке [a, b], a – нижний предел интегрирования, b – верхний предел интегрирования. Геометрический смысл опред-ого интеграла. Пусть f(x)≥0 на отрезке [a, b]

y=f(x) x=a

x=b y=0

Площадь ступенчатой фигуры:

σ = f(ξ₁) ∆x₁ + f(ξ₂) ∆x₂ +…+f(ξ_n) ∆x_n =

равна интегральной сумме для ф-ции f(x) на отрезке [a, b]. Если сущ-ет ,то его прин-юза площадь криволинейной трапеции.Необходимое условие интегрируемости функции

Теорема: Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке.

Доказательство: Предположим противное, т.е., что ф-ция f(x) не ограничена на отрезке [a, b], тогда она не ограничена хотя бы в одном частичном отрезке, например в отрезке [a_k-1, a_k], тогда за счет выбора точки ξ_k выражение f(ξ_k)∆x_k можно сделать сколь угодно большим, значит и интегральная сумма σ= тоже будет сколь угодно большой и ее предел не будет существовать, а это значит, что не существует, что противоречит условию, а из этого следует, что ф-ция f(x) ограничена на отрезке [a, b].