6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть задана f(x) в окрестности точки x= x₀

Предположим, что f(x) разлагается в ряд по степеням (x- x₀): т.е. ряд имеет вид

f(x)= a₀ + a₁( x - x₀)+ a₂( x - x₀)²+…+ a_n( x - x₀)ⁿ +…

с радиусом сходимости R ,(| x - x₀ |<R)

Этот ряд на интервале сходимости | x - x₀ |<R можно дифференцировать бесконечно число раз:

f ⁿ(x)=n∙(n-1)∙ …∙ a_n+(n+1) ∙n∙…∙3∙2a_n+1∙( x - x₀) +…

Положим в каждом равенстве x= x₀ . Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:

a₀=f(x₀), a₁=(f ’(x₀))/1!, a₂=(f ’’(x₀))/2!,… a_n=( f ⁿ (x₀))/n!

Итак, если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x₀), то этот ряд имеет вид :

f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+ (f ’(x₀) ( x - x₀)²)/2!+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n! +…= ( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!

Определение. Степенной ряд такого вида называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x₀ . Если x₀ = 0 , то такой ряд называется рядом Маклорена.

Теорема. (дост. условие разложения в ряд Тейлора).

Если функция f(x) и ее производные любого порядка ограничены в окрестности точки x_0: (| x - x₀ |<R) одним и тем же числом M, то ее ряд Тейлора сходится к самой f(x ) для любого x из этой окрестности | x - x₀ |<R . Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

Остаточный член ряда Тейлора.

Обозначим T_n (x) сумму первых членов ряда Тейлора:

T_n (x) = f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!

Остаточным членом ряда Тейлора называют разность:

R_n (x) = f(x)+ T_n (x)

Таким образом, имеет место формула Тейлора:

f(x)= f(x₀)+ f ’(x₀) ( x - x₀)+…+ =( f ⁿ (x₀) ( x - x₀)ⁿ)/n!+ R_n (x)

Важно знать, как устроен остаток R_n (x)

Теорема. Если функция f(x) имеет производную (n+1)-го порядка f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) в окрестности точки x₀ , то остаточный член имеет вид:

R_n (x) = ( x - x₀)ⁿ⁺¹)/(n+1)!∙ f ⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ), где ξ -некоторая точка, лежащая между x и x₀ .

Само по себе выражение для R_n (x) не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка ξ , в которой f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) вычисляется .

6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.

Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда найдется такое неотрицательное число , R называемое радиусом сходимости, что при всех

x, | x |< R , ряд сходится, а при всех x, | x |> R , ряд расходится.

Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости степенного ряда .

Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться.

Как найти радиус сходимости R? Для этого можно воспользоваться, например,

признаками Даламбера или Коши.

Теорема. Если существует | a_n+1/ a_n|=L, то R=1/L= | a_n/ a_n+1|

Док-во. Рассмотрим ряд a_nxⁿ . Применим к нему признак Даламбера.

| a_n+1xⁿ⁺¹/ a_nxⁿ|= | a_n+1/ a_n|∙| x | =L∙| x |

Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.

Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ .

Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x₀=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Итак, интервал сходимости ряда a_nxⁿ есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зависимости от результатов этого исследования областью сходимости ряда может

быть один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]