Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
шпоры матем 2.doc
Скачиваний:
4
Добавлен:
22.09.2019
Размер:
1.33 Mб
Скачать

6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.

Пусть задана f(x) в окрестности точки x= x0

Предположим, что f(x) разлагается в ряд по степеням (x- x0): т.е. ряд имеет вид

f(x)= a0 + a1( x - x0)+ a2( x - x0)2+…+ an( x - x0)n +…

с радиусом сходимости R ,(| x - x0 |<R)

Этот ряд на интервале сходимости | x - x0 |<R можно дифференцировать бесконечно число раз:

f n(x)=n∙(n-1)∙ …∙ an+(n+1) ∙n∙…∙3∙2an+1∙( x - x0) +…

Положим в каждом равенстве x= x0 . Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:

a0=f(x0), a1=(f ’(x0))/1!, a2=(f ’’(x0))/2!,… an=( f n (x0))/n!

Итак, если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x0), то этот ряд имеет вид :

f(x)= f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+ (f ’(x0) ( x - x0)2)/2!+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n! +…= ( f n (x0) ( x - x0)n)/n!

Определение. Степенной ряд такого вида называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0 . Если x0 = 0 , то такой ряд называется рядом Маклорена.

Теорема. (дост. условие разложения в ряд Тейлора).

Если функция f(x) и ее производные любого порядка ограничены в окрестности точки x0: (| x - x0 |<R) одним и тем же числом M, то ее ряд Тейлора сходится к самой f(x ) для любого x из этой окрестности | x - x0 |<R . Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.

Остаточный член ряда Тейлора.

Обозначим Tn (x) сумму первых членов ряда Тейлора:

Tn (x) = f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n!

Остаточным членом ряда Тейлора называют разность:

Rn (x) = f(x)+ Tn (x)

Таким образом, имеет место формула Тейлора:

f(x)= f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n!+ Rn (x)

Важно знать, как устроен остаток Rn (x)

Теорема. Если функция f(x) имеет производную (n+1)-го порядка f (n+1)(x) в окрестности точки x0 , то остаточный член имеет вид:

Rn (x) = ( x - x0)n+1)/(n+1)!∙ f (n+1)(ξ), где ξ -некоторая точка, лежащая между x и x0 .

Само по себе выражение для Rn (x) не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка ξ , в которой f (n+1)(x) вычисляется .

6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.

Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда найдется такое неотрицательное число , R называемое радиусом сходимости, что при всех

x, | x |< R , ряд сходится, а при всех x, | x |> R , ряд расходится.

Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости степенного ряда .

Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться.

Как найти радиус сходимости R? Для этого можно воспользоваться, например,

признаками Даламбера или Коши.

Теорема. Если существует | an+1/ an|=L, то R=1/L= | an/ an+1|

Док-во. Рассмотрим ряд anxn . Применим к нему признак Даламбера.

| an+1xn+1/ anxn|= | an+1/ an|∙| x | =L∙| x |

Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.

Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ .

Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x0=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой.

Итак, интервал сходимости ряда anxn есть (-R;R) . Для нахождения области сходимости ряда надо отдельно исследовать сходимость в точках x=R и x=-R; в зависимости от результатов этого исследования областью сходимости ряда может

быть один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.