4.3Линейные ду первого порядка

Лин ДУ I порядка – это ур-ния вида:

А(х)y`+Bx(y)=C(x), где А не=0. Разделив это ур-ние на А(х) получим: у`+P(x)y=f(x) (1)

Будем искать решение в виде произведения 2-х ф-ций y=uv, где u=u(x), v=v(x), у`=u`v+uv` ,

в ур-ние (1) подставим у и у` и получим : u`v+v`u+P(x)uv=f(x),

u’v+u(v’+p(x)v)=f(x) (*)

Подберем фун-ию v т. о. Что бы выраж. В ()обратилось в 0 v’+p(x)v=0 => dv/dx=-p(x)v => dv=-p(x)vdx => получ ур-ние с раздел. перем. Разделим на v: dv/v=-p(x)dx

ln!v!=

Найд. ф-ию v подставим в ур-ние (*)

v’ =f(x), u’= f(x),

u=

следов общее решение первонач ур-ния имеет вид y=uv =>

y= ( )

Однор ду 1-го порядка

ДУ с разделяющимися переменными.

P(x)*Q(y)dy+M(x)*N(y)dx=0. Разделим обе части уравнения на произведение P(x)*N(y): . Получили уравнение с разделенными переменными. Интегрируя обе части этого уравнения получим общий интеграл уравнения .

3.8 Несобственные интегралы.

1. Интегралы с бесконечными пределами.

Оп-е. Пусть функция f(x) определена на промежутке [a;+) и интегрируема на любом отрезке [а;b]  [a;+). Тогда, если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом от функции f(x) на промежутке [a;+) и обозначают . Если предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится. Если же предел не существует или = , то говорят, что несобственный интеграл расходится. Аналогично определяется несобственный . + . Если оба интеграла в правой части равенства сходятся, то сходится и интеграл . Если же хотя бы один интеграл в правой части расходится, то тоже расходится.

2. Несобственные интегралы от неограниченной функции.

Оп-е. Пусть функция f(x) определена на промежутке [а;b) интегрируема на отрезке [а;b-]  [а;b) . Предположим, что f(x) неограниченна в точке х=b. Тогда, если существует конечный предел , то его называют несобственным интегралом и обозначают . Если предел существует, то несобственный интеграл сходится. Если же предел не существует или =, то несобственный интеграл расходится. Аналогично, если функция неограниченна при х=а, то . Если функция f(x) неограниченна при x=с, а а<b<c, то + . Если оба интеграла в правой части существуют и конечны, то интеграл сходится, если же хотя бы один из этих интегралов не существует или =, то расходится.

1.5 Методы наименьших квадратов…

В прикладных задачах техники, биологии, экономики зависимость между переменными х и у часто выражают ввиде таблицы: (1)

X	x1	x2	…….	xn
Y	y1	y2	…….	yn

Чтобы облегчить анализ изучаемой зависимости следует табличную ф–цию (1) представить некоторой ф–лой y=f(x) таким образом, чтобы её значение возможно мало отличалось от экспериментальных. Ф–лы, полученные на основе обработки экспериментальных данных называются эмпирическими. В экономических исследованиях наиболее часто используются следующие ф–лы:

1) y=ax+b 2) y=ax²+bx+c 3) y=a/x +b 4) y=a lnx+b 5) y=ax^b 6) y=ab^x

Построение эмпирической ф–лы состоит из 2–х этапов:

1.Выбор вида эмпирической ф–лы. Он устанавливается из теоретических соображений или по хар–ру расположения точек (x_i;y_i) на плоскости.

2.Определение параметров выбранной ф–лы.