1.1.Понятие функции нескольких переменных.

Пусть D-множество пар (x;y) действительных чисел и z-некоторое числовое множество. Если каждой паре (х;у)D по некоторому правилу поставлено в соответствие одно определенное число zZ, то говорят, что на множестве D задана функция z = f (x,y). x,y -независимые переменные ( аргументы ), D - область определения функции.

Так как каждой паре чисел (х,у) на плоскости соответствует единственная точка М(х,у) и наоборот, то функцию двух переменных можно рассматривать как функцию точки М(х,у) и вместо записи z = f (x,y) записывать z = f (M). Аналогично определяется функция n переменных: z = f (x₁, x₂, …, x_n). Функцию двух переменных можно задать с помощью формулы, с помощью таблицы или графиком. Графиком функции двух переменных является некоторая поверхность.

Производственные функции. Функция Кобба-Дугласа. Производственные функции выражают зависимость между производственными затратами и выпуском продукции. Возникновение производственных функций относят к 1928 году, когда американские ученые Д.Кобб и П.Дуглас опубликовали статью, в которой впервые была рассмотрена функция, выражающая зависимость между объемом основных фондов К, трудовыми затратами L и объемом выпущенной продукции У. Эта функция имела вид:

У = А*К^ *L^{1- }, где А = соnst, A›0, 0‹‹1. Эта функция называется функцией Кобба-Дугласа. В экономике используются и другие производственные функции.

1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных. 1). -окрестность

Расстояние между точками М(х,у) и М₀(х₀,у₀) будем обозначать (М,М₀) и

(М,М₀) = .

Определение: Множество точек М(х,у), координаты которых удовлетворяют неравенству (М,М₀) называется -окрестностью точки М₀.

Геометрический смысл: это множество точек, лежащих внутри круга с центром в точке М₀(х₀,у₀) и радиусом .

2). Сходящаяся последовательность точек.

Говорят, что последовательность точек М_n(x_n,y_n) сходится к точке М₀(х₀,у₀), если lim_n∞(M_n,M₀) = lim _n∞ = 0

3). Предел функции.

Число А называется пределом функции z = f (M) в точке М₀, если для любой сходящейся к М₀ последовательности точек М₁, М₂, М₃,…,М_n,.., отличных от М₀ , соответствующая последовательность значений функций f (M₁), f (M₂), f (M₃), …, f (M_n), … сходится к числу А.

4). Непрерывность.

Опр.1: Функция z = f (M) называется непрерывной в точке М₀, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, то есть если lim _MM0 f(M) = f(M₀).

Опр.2: Если в точке М₀(х₀,у₀) бесконечно малым приращениям аргумента ∆х и ∆у соответствует бесконечно малое приращение функции ∆z, то функция непрерывна в точке М₀. lim _{∆x0. ∆y0} ∆z = 0

4.1. Дифференциальные уравнения (основные понятия).

Уравнение вида F(x,y,y`,y``,…,y<sup>(n)</sup>)=0, связывающее аргумент x неизвестную функцию y(x) и ее производные, называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Уравнение, которое не содержит производную неизвестной функции не является ДУ. Порядком ДУ называется порядок старшей производной, а степень старшей производной называется степенью ДУ. Решением ДУ F(x,y,y`,y``,…,y<sup>(n)</sup>)=0 называется функция y=(x), которая будучи подставлена в уравнение вместе со своими производными обращает его в тождество. График этой функции называется интегральной кривой. Процесс отыскания решений называется интегрированием ДУ. В общем случае для нахождения решения уравнения F(x,y,y`,y``,…,y⁽ⁿ⁾)=0 потребуется провести интегрирование n раз. Поэтому решение будет содержать n произвольных постоянных, т.е. иметь вид y=(x,c₁,c₂,…,c_n). Решение, заданное в неявном виде Ф(x,y, c₁,c₂,…,c_n)=0 называется интегралом ДУ.

1.3Частные производные первого и второго порядка

Производная первого порядка(которая называется частной)

О. Пусть х, у – приращения независимых переменных х и у в некоторой точке из области Х. Тогда величина, равная z = f(x+ х, y+ у) = f(x,y) называется полным приращением в точке х_0,у_0.Если переменную х зафиксировать, а переменной у дать приращение у, то получим zу = f(x,y,+ у) – f(x,y)

Аналогично определяется частная производная от переменной у, т.е.

z’_x =

Частную производную функции 2-х переменных находят по тем же правилам, что и для функций одной переменной.

Отличие состоит в том, что при дифференциации функции по переменной х , у считается const, а при дифференцировании по у, х считается const.

Изолированные const соединены с функцией операциями сложения/вычитания.

Связанные const соединены с функцией операциями умножения/деления.

Производная изолированной const = 0