53.Достаточное условие дифференцируемости отображения в точке.

Т. Если частная производная всех корд ф-ий , ceo в окр-сти т. и непр-на в самой этой точке, то отобр f диф-мо в т.

54. Производная по направлению.

Опр. Пусть Е – открытое мн-во в Rⁿ и – скал ф-ия. Пусть далее – некот единичный в-р, тогда производная по направлению наз число , если lim сущ-ет и конечен.

Т. Пусть открытое мн-во и скал ф-ия диф-ма в т. , тогда в этой точке сущ производная по любому направл. и верно рав-во

55.Теорема Лагранжа оконечных приращениях

Опр. Отрезком в Rⁿ с началом в точке и концом в т. наз-ся мн-во а интервалом:

Т.Пусть скал ф-ия , , непрерывна на отрезке и диф-ма во всех точках интервала . Тогда сущ-ет такая т. , что

56. Диф-лы высших порядков. Ф-ла Тейлора

Опр Диф-лом второго порядка от скал ф-ции в т. на в-ре наз-ся диф-ал от 1-ого диф-ла:

Теор Если все частн. произв. 1-го порядка скал. ф-ции диф-мы в т. , то , где и явл-ся квадратичной формой от перем.

Опр Формой степени наз-ся целая рац. ф-ция однородная степени p от этих перем.

Опр Диф-лом порядка от ф-ции в т. на в-ре наз-ся диф-ал от диф-ала пор. р:

Теор Если все част. произв. порядка р ф-ции , диф-мой в т. , то b явл-ся формой степени (р+1) от прем.

Ф-ла Тейлора для скал. ф-ции 2-ух перем имеет вид

57.Локальный экстремум функций векторного аргумента. Необходимое условие.

Опр. – область, т. наз-ся точкой внутрен локального экстремума скал ф-ии если сущ её проколот окрестность , в кот выполнено хотя б одно из след нер-в:

1) (строгий лок мах)

2) (лок мах)

3) (строгий лок мин)

4) (лок мин)

Т. (необх усл лок экстр диф-ой ф-ии) Пусть скал ф-ия диф-ма в т. и имеет в этой точке лок экстр, тогда в этой точке все частн произв 1го порядка равны нулю

Опр. Стационарная точка – точка, в кот ф-ия диф-ма и все частные производные равны 0

58. Достаточное условие локального экстремума ф-ции вект. Аргумента (общий случай)

Теор Пусть – стац. т. скал. ф-ции и в этой т. . Если кв форма :

1. положит. опред, то имеет в т. стр. лок. мин.

2. отриц. опред, то имеет в т. стр. лок. макс.

3. неопред., то не имеет экстр. в т.

59. Теорема о существовании локального экстремума для функций двух переменных.

Теор.Пусть (a;b)-стац точка диф скал ф-ии r=f(x,y). Пусть сущ производ 2ого порядка ф-ия диф на [a;b].Пусть A=∂²f(a,b)/∂x², B=∂²f(a,b)/∂x∂y, C=∂²f(a,b)/∂y². Тогда:1)если A>0, AC-B²>0, то в т.(a,b) ф-ия имеет строгий лок максимум; 2)если A<0, AC-B²>0, то в т.(a,b) ф-ия имеет строгий лок минимум; 3)если AC-B²<0, то в т.(a,b) ф-ия не имеет экстремума; 4)если A=0 или AC-B²=0, то необходимо дополнительные исследования (могут реализ все случаи).

60. Теорема о существовании, единственности и непрерывности неявной функции скалярного аргумента. Теор. Предположим выполняется след условия:1)F:E→R, EcR²(т.е. F(x,y)) непрер в прямоугольнике: {(x,y)||x-x₀| ∆, |y-y₀| ∆’}cE с центром в точке (x₀,y₀); 2)Вы прав-во F(x₀,y₀)=0; 3)При каждом xє[x₀-∆,x₀+∆] ф-ия F(x,y) строго монотонна по переменной y. Тогда в некоторой окр-ти (x₀-δ;x₀+δ) существует единственная ф-ия y=y(x), такая что .

61. Дифференцируемость неявной функции скалярного аргумента. Теоремы о неявных функциях векторного аргумента. Т.Пусть выполняются условия: 1)ф-ия F:E→R, EcR²(т.е. F(x,y)) имеет непрерывн частную производ 1ого порядка в нек окр-ти т.(x₀,y₀)єE; 2)F(x₀,y₀)=0; 3) (x₀,y₀) 0; Тогда в некоторой окр-ти (x₀-δ;x₀+δ) существует единственная дифф-ая ф-ия y=y(x) для которой y₀=y(x₀) , y’(x)=- . Т.Пусть, предположим что: 1)F( ,y) непрерыв в (n+1)-мерном параллелепипеде: П={|x₁- | ∆₁,…, |x_n- | ∆_n,|y-y₀| ∆’} в центре с т.( , )=( ,…, ,y^o); 2)F( ,y⁰)=0; 3)При каждом єП ф-ия F( ,y) строго монотонна по y. Тогда в некотор окр т.x⁰ единств непр ф-ия y=y( ), такая что y⁰=y( ) и F( ,y( )) . Т.Предположим вып усл: 1)F( ,y) непрерыв частн производ 1ого порядка в некотор окр-ти ( ,y⁰); 2) F( ,y⁰)=0; 3) ( ,y⁰) 0. Тогда сущ такая окр-ть котор ур-ние F( ,y)=0 опред единств дифф ф-ию y=y( ), такую что y⁰=y( ), F( ,y( )) , =- .