Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
shpora_na_pechat.docx
Скачиваний:
4
Добавлен:
21.09.2019
Размер:
106.19 Кб
Скачать

1.Первообразная, неопределённый интеграл и их свойства.

Опр F(x) – первообр для f(x) на некот промежутке, если на этом промеж F(x) – дифф и F’(x)=f(x)

Св-ва первообр:

1)Если F(x) – первообр для f, то F(x)+C – также первообр

2)Если F(x) – первообр для f, x€X, то любая др первообр для f на том же промеж будет F(x)+C

3)Разность между V 2мя первообр для f(x) на промеж = С

Опр Неопр инт-л от f на некот промеж наз-ся мн-во всех первообр для f на этом промеж, и обозн , где F(x) – любая первообр для f, C=const

Св-ва неопр инт-ла:

2.Таблица основных интегралов

1)∫A(x)dx=Ax+C; 2)∫xαdx=((xα+1)/(α+1))+C; 3)∫dx/x=ln|x|+C; 4)∫axdx=ax/lna; 5)∫sinxdx=-cosx+C; 6)∫cosxdx=sinx+C; 7)∫dx/cos2x=tgx+C; 8)∫dx/sin2x=-ctgx+C; 9)∫shxdx=chx+C; 10)∫chxdx=shxdx+C; 11)∫dx/ch2x=thx+C; 12) ∫dx/sh2x=-cthx+C; 13)∫dx/(x2+1)=arctgx+C; 14)∫dx/(x2-a2)=(1/2a)*ln|(x-a)/(x+a)|;

3. Методы разложения и внесения под знак дифференциала.

Метод разложения

Интеграл от лин комбин конечного числа инт ф-ий равен той же комбинации инт-лов от инт ф-ий

Const множитель можно выносить за знак диф-ла

Метов внесения под знак диф-ла

4.Замена переменной в неопределённом интеграле.

Т. Пусть x€[a;b] и отобр – диф-ема и биективна. Тогда , где

5.Метод интегрирования по частям.

6.Разложение рациональной функции на простые дроби.

Первообразная любой рац ф-ии выражается через рац ф-ии, а также ln и arctg. Рац часть первообразной, будучи приведена к общему знаменателю, должна в качестве такового иметь произведение всех сомножителей, на которые раскладывается многочлен Q(x), только с кратностями, на единицу меньшими, чем кратность их вхождения в разложение Q(x).

7.Интегрирование рациональных функций.

, где

Первообразная любой рациональой функции выражается через рациональные функции, а также трнсцендентные функции и .

8.Метод Остроградского

метод выделения рациональной части неопределенного интеграла от рациональной дроби, знаменатель которой — многочлен степени n с кратными корнями, а числитель — многочлен степени m   n-1. Согласно этому методу, , где многочлены Q1, Q2, P1, P2 имеют степени соответственно n1, n2, m1, m2, такие что n1 + n2 = n, m1   n1 — 1, m2   n2 — 1 и многочлен Q2(x) не имеет кратных корней. Таким образом, Q1(x) является наибольшим общим делителем многочленов Q(x) и  , следовательно, его можно найти, используя алгоритм Евклида. Из этого равенства, дифференцируя, получаем тождество, которое позволяет найти явное выражение многочленов P1(x) и P2(x).

9.Интегрирование некоторых тригонометрических выражений.

a) :

б) или где рациональная функция:

в) или

или : и

10.Интегрирование дробно-линейных иррациональностей.

Если , то , , y=t.

11.Подстановки Эйлера

  1. a>0:

  2. c>0:

  3. a<0, c<0, D>0, x1<x<x2:

12.Выделение алгебраической части интеграла

Ф-ия наз алгебраической, если в D(f) она обладает тождеству вида:pk(x)[f(x)]k+ pk-1(x)[f(x)]k-1+…+ p1(x)f(x)+ p0(x)=0, где n>=1, nєZ, pk, pk-1,…,p0,-некоторые многочлены, Pk(x)≠0.

Подинтегральную ф-ию алгебр преобраз всегда можно представить в виде суммы:R1(x)/ +R2(x), где R1(x), R2(x) –рац ф-ии.∫ R(x, ) можно привести к инт-лу вида: ∫R1(x)/ dx. Разложив рац R1(x) на сумму многочленов pr(x) элем-ных дробей приходим к инт-лам след 3х видов:а)∫Pr(x)/ dx; б)∫1/((x-α)k )dx, kєN; в)(Mx+N)/((x2+px+q)m )dx, mєN.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]