29.Открытые и замкнутые множества в r2

(граница – замкнутое мн-во)

Опр Мн-во XcR² наз-ся открытым в R², если все точки внутренние, т.е. X=X⁰

Опр Т.М называется предельной для множества А, если в V ей окрестности U(M) есть беск мн-во точек из А. Предельная точка может принадл или не принадл мн-ву.

Опр Мн-во YcR² называется замкнутым в R², если его дополнение CY= R²\Y открыто в R² или если содержит все свои предельные точки – замыкание мн-ва А (мн-во А + все его предельные точки)

Замкнутое мн-во совпадает со своим замыканием.

30.Квадрируемые фигуры

Опр Нижняя площадь фигуры А - по всем P⁰ содержащ в A:P⁰ c A

Опр Верхняя площадь фигуры А - по всем

Опр Фигура AcR² наз-ся квадрируемой , если её нижняя и верхняя площади совпадают. В этом случае

31. О критериях квадрируемости плоской фигуры

(1ый кр. квадр) – квадрируема

(2ой кр. квадр)

(3ий кр. квадр) Необх и дост, чтобы ее граница была фигура площади 0

32. Площадь криволинейной трапеции

Пусть f:[a;b]→R-неотриц ф-ия.Криволиненой трапецией наз мн-во A={(x,y)єR²:a x b; y=f(x)}

Т.Если f:[a;b]→R-неотриц инт-ма ф-ия, то криволинейная трапеция квадрируема и её площадь равна: μ(A)=

33.Площадь криволинейного сектора

Пусть . Криволинейным сектором наз. плоская фигура , которая в полярн. системе координат может быть задана Если , то

34. Вычисление объемов некоторых тел

Пусть – тело, распол. между касающимися его плоскостями , - квадрир. Если интегрируемо на , то тело - кубируемо и его объем равен интегралу

35. Основные понятия связанные с плоскими кривыми

Опр. Плоской кривой в назы-ся любое непрерывное отображение отрезка или (1)

Опр. Две кривые

наз-ся совпадающими, если непрер. строго возраст ф-ция

1. 

2. ;

Опр. Носителем (графиком) кривой (1) наз-ся геом. образ этой кривой, т.е. мн-во точек по всем

Опр. Точки плоскости наз-ся началом и концом (1), если , то кривая наз-ся замкнутой, иначе разомкнутой.

Опр. Точки , которым соотв. несколько точек , называются точками самопересечения кривой, искл. случай – для замкнуто кривой.

36. Основные классы кривых

|Г| - носитель кривой Г

Опр Кривая называется простой или жордановой, если – взаимнооднозначн. (для замкн. кривой –

Опр Кривая наз-ся гладкой, если на непр. диф-ема на [a,b] и их произв. одновременно не обращ. в 0

Опр Кривая наз-ся кусочно гладкой, если [a,b] можно разбить на кон. число отрезков, каждая кривая на которых будет гладкой

Опр Пусть – нек. кривая, – разбиение отрезка [a,b], тогда ломаная с паследоват. вершинами называется вписанной в кривую Г

Опр Кривая называется спрямляемой, если множество длин всевозможных ломанных вписанных в кривую ограничено сверху. В этом случае конечн. верхняя граница называется длиной кривой: , где sup берется по всем разбиениям Т [a,b]

37. Длина гладкой кривой. Спрямляемость кусочно-гладкой кривой

Т Гладкая кривая спрямляема, и для ее длины справедл. формула:

T Кусочно гладкая кривая спрямляема, и ее длину можно вычислить

где – отрезки, на которых кривая гладкая.

38. Площадь поверхности вращения

Опр Поверхность вращения графика ф-ции вокруг Ох наз-ся квадрируемой, если мн-во площадей всех поверхносей ломаных линий, вписанных в это графикограничено сверху. Площадь фигуры вращения –

Если на [a,b] имеет непрерывн произв, то

39. Евклидово пространство в (основные понятия)

Опр Пр-во наз-ся декарт произв -штук), т.е. мн-во всех упорядоченных наборов

Опр Евклидово расстояние ( метрика ) в - функция

Теор ф-ла (1) удовлетв всем условиям метрики

Опр Длиной (евклидовой мерой) в-ра наз-ся число где – начало координат в

Опр Скалярное произведение векторов наз-ся число (

(

41. Основные топологические понятия в

Опр Окрестностью т. наз-ся мн-во

,

Опр Мн-во наз-ся открытым, если оно содержит каждую свою точку вместе с некоторой окрестностью.

Опр – замкн. если – открыто в

Опр Мн-во наз-ся сферой с центром в т. и радиусом . Замкнутое.

Опр т. по отношению к мн-ву наз-ся:

внутренней, если содерж в Е с некот своей окр-тью

внешней, если явл-ся внутренней для СЕ

граничной, если ни внутр, ни внешняя

предельной, если – бесконечн множество

изолированной, если

Опр мн-во наз-ся замыканием мн-ва и обозначается

Теор мн-во – замкнуто в

40. Сходимость в и его полнота

Опр Посл-ть в-ров из наз-ся сходящейся к вектору , если

Теор Сходимость посл-ти векторов равносильно их покоординатной сх-ти:

Теор(крит Коши) Посл-ть в-ров сх-ся в тогда и только тогда, когда она фундаментальна:

Следств Евклидово пр-во явл-ся полным.

42. Кратные пределы отображений. Теорема о покоординатной сходимости

Опр Пусть - предельная точка . Принято говорить, что , явл-ся пределом в т.   по мн-ву , если вып-ся одно из условий:

43. Повторный предел. Теорема о существовании повторного предела.

Повторными пределами для в точке , предельной для Е, наз-ся пределы по мн-ву Е вида:

Теор (о сущ-ии повтор предела) Пусть для скалярной ф-ий 2-х перемен в некоторой точке интеграл, а также предел по одной из переменных, тогда в этой точке сущ-ет и соотв двойной предел.

44.Непрерывность отображений из в . Локальные свойства.

Опр Ф-ция – непрерывна в точке , если

Локальные свойства:

1. - непрер

2. , непрерывное в т. , ограничено в некоторой

3. Если g – непрерывно в , a - непрерывно в , причем , то определено отображение и оно непрерывно в точке .

45.Глобальные свойства непрерывных отображений

1) Если отображение - непрерывно на компакте , то оно равномерно непрерывно на .

2) Если отображение - непрерывно на компакте , то оно ограничено на

3) Если ф-ция - непрерывна на компакте , то она принимает в некоторых точках мин. и макс. из своих значений на .

4) Если ф-ция - непрерывна на связном мн-ве Е, принимает в точках значения , то .

46.Линейные отображения из Rⁿ в R^m.

Линейное отображение векторного пр-ва Х в Y наз-ся линейным над полем R, если:

Т. Отображение линейно т. и т. т., когда линейными явл-ся все его коорд ф-ии.

Т. Для любого линейного

Линейное отобр непрер в любой точке

47 Дифференцируемые отображения из Rⁿ в R^m. Простейшие свойства

Опр Отобр , называется дифф-мым в точке , если для него сущ-ет такое отображение , что

Св-ва:

1) Если отобр диф-мо в т. , то его производная опр-ся однозначно

2) Если отобр диф-мо, то оно непрерывно в этой точке

48.Дифференцируемость композиции отображений.

Пусть – откр мн-ва. Пусть далее f:X->Y диф в точке , а отобр g:Y->R^p диф-мо в т. . Тогда композиция g o а диф-ма в т. и справедл рав- во:

49.Теорема о покоординатной дифференцируемости отображения

Диф-ость отобр равнос диф-сти всех его покоорд ф-ий f_k, причём справ-во покоординатное представление диф-ла отобр: , где – стандартный базис в .

50.Частные производные. Теорема о смешанных производных.

ОПР Частной произв 1го порядка скал ф-ии по переменной в т. наз-ся обыкновен произв ф-ии в т. , т.е. предел:

Т. (о смешанных произв) Если смешанные частные производные и сущ в некот окр-сти в т. и непр-ны в самой т. , то они совпадают в этой точке, т.е. =

51.Матрица Якоби. Необходимое условие дифференцируемости отображения в точке.

Если m =n, то опред этой м-цы – якобиан.

Если m=1, то м-ца Якоби – это в-ор. Этот вектор – градиент скал ф-ии вект аргумента.

T. (необх усл диф-сти отобр в т.) Если отображение диф-мо в т. , то существует его матрица Якоби и она совпадает с м-цей лин оператора по опр диф-сти f в т. .

52. Диф-ал скалярной ф-ции

Если – скалярн. ф-ция, то диф-ал записывается в виде обозначают поэтому . Для 2-х переменных