72

Экзаменационные вопросы по теоретической механике. 1. Импульс, закон изменения импульса системы материальных точек. 2. Момент импульса, закон изменения момента импульса системы материальных точек. 3. Энергия, закон изменения кинетической энергии системы материальных точек. 4. Система отсчета центра инерции. Преобразование импульса, момента импульса, энергии при переходе в систему отсчета центра инерции 5. Связи, обобщенные координаты. 6. Принцип виртуальных перемещений, принцип Даламбера. 7. Принцип Гамильтона. 8. Получение уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. 9. Функция Лагранжа в обобщенных координатах. 10. Обобщенный импульс, обобщенная энергия, циклические координаты. 11. Связь фундаментальных законов сохранения с симметриями пространства и времени. 12. Задача двух тел, приведенная масса. 13. Движение в центральном поле. 14. Задача Кеплера. 15. Классическая теория рассеяния, формула Резерфорда. 16. Свободные одномерные колебания без трения. 17. Свободные одномерные колебания при наличии трения. 18. Вынужденные одномерные колебания без трения. 19. Вынужденные одномерные колебания при наличии трения. 20. Свободные многомерные колебания, нормальные координаты. 21. Кинематика твердого тела, углы Эйлера, угловая скорость. 22. Тензор инерции. 23. Уравнения движения твердого тела. 24. Уравнения Гамильтона, или канонические. 25. Фазовое пространство, скобки Пуассона. 26. Метод Эйлера описания сплошной среды. 27. Производная по подвижному объему, уравнение неразрывности. 28. Внутренние поверхностные силы, тензор напряжений. 29. Идеальная жидкость, уравнение движения идеальной жидкости. 30. Простейшие  решения уравнения движения идеальной жидкости.

1. Импульс, з-н изменения импульса с-мы материальных точек.

Закон 2 Ньютона. Изменение количества движения пропорционально при­ложенной движущей силе и происходит по направлению той пря­мой, по которой эта сила действует.

Второй закон Ньютона связывает ускорение тела с действую­щей на него силой:

(1.1)

Так как масса — величина постоянная, то уравнение (1.1) мож­но записать в форме (1.6)

Величина называется импульсом, или количеством дви­жения материальной точки. Используя определение импульса, второй закон Ньютона записываем в форме (1.7)

Изменение импульса материальной точки вызывается действием на нее силы. В уравнении (1.7) введено общепринятое в классиче­ской механике обозначение, когда полная производная по времени обозначается точкой над буквой.

Несколько тел, каждое из которых можно рассматривать как материальную точку, составляют систему материальных точек. Для каждой материальной точки можно записать уравнение вто­рого закона Ньютона

(1.13)

В уравнении (1.13) индексы дают номер материальной точки. Действующие на материальную точку силы разделены на внеш­ние и внутренние . Внешние силы — это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек. Вну­тренние силы — это силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь — сила, действующая на материальную точку, индекс которой , со стороны материальной точки с номером .

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то по­лучим

(1.14)

Величина (1.15)

называется импульсом системы материальных точек. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов отдельных материальных точек. В уравнении (1.14) двойная сумма для вну­тренних сил обращается в нуль. Для каждой пары материальных точек в нее входят силы, которые по третьему закону Ньютона (Закон 3. Действию всегда есть равное и противоположное про­тиводействие; иначе — взаимодействия двух тел друг с другом равны и направлены в противоположные стороны.) равны и противоположно направлены. Для каждой пары вектор­ная сумма этих сил обращается в нуль. Поэтому равна нулю и сумма для всех сил. В результате получим

(1.16)

Уравнение (1.16) выражает закон изменения импульса системы материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек вызывается только внешними силами. Если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы материальных то­чек сохраняется. Систему материальных точек, на которую не действуют внешние силы, называют изолированной, или замкну­той, системой материальных точек.

2. Момент импульса, з-н изменения момента импульса с-мы материальных точек.

Закон 2 Ньютона. Изменение количества движения пропорционально при­ложенной движущей силе и происходит по направлению той пря­мой, по которой эта сила действует.

Второй закон Ньютона связывает ускорение тела с действую­щей на него силой:

(1.1)

Так как масса — величина постоянная, то уравнение (1.1) мож­но записать в форме (1.6)

Величина называется импульсом, или количеством дви­жения материальной точки. Используя определение импульса, второй закон Ньютона записываем в форме (1.7)

Изменение импульса материальной точки вызывается действием на нее силы. Умножая уравнение (1.7) слева векторно на радиус-вектор , получаем

(1.8)

где вектор называется моментом импульса материальной точки, а вектор — моментом силы. Изменение момента импульса материальной точки вызывается моментом действующей на нее силы.

Несколько тел, каждое из которых можно рассматривать как материальную точку, составляют систему материальных точек. Для каждой материальной точки можно записать уравнение вто­рого закона Ньютона

(1.13)

В уравнении (1.13) индексы дают номер материальной точки. Действующие на материальную точку силы разделены на внеш­ние и внутренние . Внешние силы — это силы, действующие со стороны тел, не входящих в систему материальных точек. Вну­тренние силы — это силы, действующие на материальную точку со стороны других тел, составляющих систему материальных точек. Здесь — сила, действующая на материальную точку, индекс которой , со стороны материальной точки с номером .

Из уравнений (1.13) вытекают несколько важных законов. Если просуммируем их по всем материальным точкам системы, то по­лучим

(1.14) ,

Величина (1.15)

называется импульсом системы материальных точек. Импульс системы материальных точек равен сумме импульсов отдельных материальных точек. В уравнении (1.14) двойная сумма для вну­тренних сил обращается в нуль. Для каждой пары материальных точек в нее входят силы, которые по третьему закону Ньютона равны и противоположно направлены. Для каждой пары вектор­ная сумма этих сил обращается в нуль. Поэтому равна нулю и сумма для всех сил. В результате получим

(1.16)

Уравнение (1.16) выражает закон изменения импульса системы материальных точек. Изменение импульса системы материальных точек вызывается только внешними силами. Если на систему не действуют внешние силы, то импульс системы материальных то­чек сохраняется. Систему материальных точек, на которую не действуют внешние силы, называют изолированной, или замкну­той, системой материальных точек.

Аналогичным образом для каждой материальной точки запи­сываются уравнения (1.8) моментов импульсов

(1.17)

При суммировании уравнений (1.17) по всем материальным точ­кам системы материальных точек сумма моментов внутренних сил обращается в нуль и получается закон изменения момента импуль­са системы материальных точек:

(1.18)

где введены обозначения: — момент импульса системы мате­риальных точек, — момент внешних сил. Изменение момен­та импульса системы материальных точек вызывается внешними силами, действующими на систему. Для замкнутой системы мате­риальных точек момент импульса сохраняется