- •1. Импульс, з-н изменения импульса с-мы материальных точек.
- •2. Момент импульса, з-н изменения момента импульса с-мы материальных точек.
- •3. Энергия, з-н изменения кинетической энергии с-мы материальных точек.
- •5. Связи, обобщенные координаты
- •6. Принцип виртуальных перемещений и принцип Даламбера
- •7. Принцип Гамильтона
- •9.Функция Лагранжа в обобщенных координатах
- •10. Обобщенный импульс, обобщенная энергия циклические координаты.
- •11. Связь фундаментальных законов сохранения с симметриями пространства и времени
- •12.Задача двух тел. Приведенная масса
- •13. Движение в центральном поле
- •14. Задача Кеплера
- •15. Классическая теория рассеяния, формула Резерфорда.
- •20. Свободные многомерные колебания
- •21. Кинематика твердого тела. Углы Эйлера, угловая скорость.
- •22. Тензор инерции
- •23. Уравнения движения твердого тела
- •24. Уравнения Гамильтона, или канонические.
- •25. Фазовое пространство, скобки Пуассона.
- •26. Метод Эйлера описания сплошной среды.
- •27. Производная по подвижному объему, ур-ние неразрывности. (Дифференциальные и интегральные соотношения, подвижный объем).
- •28. Внутренние поверхностные силы, тензор напряжений.
- •29. Идеальная жидкость, уравнение движения идеальной жидкости. Простые модели сплошных сред
- •30. Простейшие решения уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение движения идеальной жидкости и простейшие его решения.
29. Идеальная жидкость, уравнение движения идеальной жидкости. Простые модели сплошных сред
Самой простой моделью сплошной среды является идеальная жидкость. Она пригодна для описания жидкостей и газов с малой вязкостью. Для идеальной жидкости тензор напряжений задается в виде , (8.42)
где — символ Кронекера. Вследствие (8.42) для плотности поверхностной силы получим , , (8.43) то есть в идеальной жидкости поверхностная сила всегда направлена по нормали к площадке. Ее величина не зависит от ориентации площадки и определяется одной скалярной функцией р, называемой давлением. Давление — положительная величина. В формуле (8.42) выбран знак минус потому, что в реальных сплошных средах, для которых пригодна модель идеальной жидкости, сила давления всегда направлена внутрь выделенного объема сплошной среды противоположно внешней нормали.
Более полно св-ва реальных жидкостей и газов учитываются в модели вязкой жидкости. Для вязкой жидкости тензор напряжений определяется не только давлением, но и тензором скорости деформации сплошной среды. Для вязкой жидкости тензор напряжений принимается в форме (8.44) где и - постоянные коэффициенты, называемые первым и вторым коэффициентами вязкости. Если среда несжимаема, что выполняется для большинства жидкостей, то для нее и в выражении (8.44) последнее слагаемое пропадает. Мы ограничимся только случаем несжимаемой вязкой жидкости.
Для понимания, что представляет из себя вязкая жидкость, определенная зависимостью (8.44), рассмотрим такое течение жидкости, когда скорость частиц параллельна оси ох и зависит только от координаты у. Выберем внутри жидкости о бъем, имеющий площадку, нормаль к которой параллельна оси оу (рис. 8.3). Тогда тензор скорости деформаций, тензор напряжений и векторы, изображенные на рис. 8.3, будут иметь следующие компоненты: , , , , , , ,
, , (8.45)
, . В вязкой жидкости наряду с силой давления возникает касательная к выделенной площадке сила. Если , то верхние слои жидкости увлекают нижние слои с силой, пропорциональной величине этой производной. Коэффициент пропорциональности это коэффициент вязкости .
Сплошная среда, для которой тензор напряжений и тензор деформации связаны линейной зависимостью, называется идеально упругим телом. Само уравнение линейной зависимости называется законам Гука, который для изотропных сред может быть записан в одной из двух форм: , (8.46)
. (8.47) Постоянные и называются постоянными Ламе и не имеют никакого отношения к таким же постоянным в модели вязкой жидкости. Постоянная называется модулем Юнга, постоянная - коэффициентом Пуассона. Для того чтобы найти связь этих двух наборов постоянных, необходимо в уравнениях (8.46) и (8.47) положить и просуммировать их. В результате получаются формулы:
, . (8.48) Для уяснения смысла закона Гука, задаваемого формулами (8.46) и (8.47), рассмотрим прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны координ атным осям (рис. 8.4). Если поверхностные силы приложены только
перпендикулярно к двум его торцам в направлении оси ох, то для тензора напряжений и тензора деформаций получим
, , . (8.49)
Так как что относительное удлинение образца вдоль оси ох, то формула (8.49) дает известное выражение закона Гука для удлинения образца. Она также показывает, что при удлинении образец будет становиться тоньше. Если же поверхностные напряжения приложены по касательной к торцам, как на рисунке, вдоль оси ох, то получим деформацию сдвига, которая описывается формулами
, . (8.50)
Поскольку , является коэффициентом пропорциональности между касательными напряжениями и сдвигами сплошной среды, то коэффициент называется модулем сдвига.
Рассмотренные здесь модели сплошных сред базируются на значительной идеализации свойств реальных сред. Построение более полных моделей требует привлечения законов термодинамики и выходит за рамки механики.