- •1. Импульс, з-н изменения импульса с-мы материальных точек.
- •2. Момент импульса, з-н изменения момента импульса с-мы материальных точек.
- •3. Энергия, з-н изменения кинетической энергии с-мы материальных точек.
- •5. Связи, обобщенные координаты
- •6. Принцип виртуальных перемещений и принцип Даламбера
- •7. Принцип Гамильтона
- •9.Функция Лагранжа в обобщенных координатах
- •10. Обобщенный импульс, обобщенная энергия циклические координаты.
- •11. Связь фундаментальных законов сохранения с симметриями пространства и времени
- •12.Задача двух тел. Приведенная масса
- •13. Движение в центральном поле
- •14. Задача Кеплера
- •15. Классическая теория рассеяния, формула Резерфорда.
- •20. Свободные многомерные колебания
- •21. Кинематика твердого тела. Углы Эйлера, угловая скорость.
- •22. Тензор инерции
- •23. Уравнения движения твердого тела
- •24. Уравнения Гамильтона, или канонические.
- •25. Фазовое пространство, скобки Пуассона.
- •26. Метод Эйлера описания сплошной среды.
- •27. Производная по подвижному объему, ур-ние неразрывности. (Дифференциальные и интегральные соотношения, подвижный объем).
- •28. Внутренние поверхностные силы, тензор напряжений.
- •29. Идеальная жидкость, уравнение движения идеальной жидкости. Простые модели сплошных сред
- •30. Простейшие решения уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение движения идеальной жидкости и простейшие его решения.
20. Свободные многомерные колебания
Обобщенные координаты положения равновесия механической системы с несколькими степенями свободы обозначим через . Для смещений из положения равновесия и обобщенных скоростей имеем
; (5.39)
Как и в одномерном случае, потенциальную энергию механической системы разложим в ряд до членов второго порядка малости:
(5.40)
Здесь — число степеней свободы. При записи формулы (5.40) учтено, что вследствие минимума потенциальной энергии в положении равновесия первые производные от нее =0, и введено обозначение (5.41)
Коэффициенты постоянны и, как следует из их определения (5 41), симметричны по индексам i,j. To есть они задают симметричную постоянную матрицу. Так как по определению есть минимальное значение потенциальной энергии, то двойная сумма в разложении (5.40) должна быть положительной при любых значениях . Матрицы, для которых такая сумма всегда положительна, называются положительно определенными. Таким образом, матрица — это симметричная положительно определенная матрица постоянных коэффициентов. В выражении кинетической энергии зависящие в общем случае от координат коэффициенты также разлагаем в ряд вблизи положения равновесия. Поскольку обобщенные скорости , считаются малыми, то в разложении можно ограничиться нулевым приближением:
; (5.42)
Матрица — это также симметричная матрица постоянных коэффициентов. Поскольку кинетическая энергия всегда положительна, то матрица как и матрица , является положительно определенной.
Запишем функцию Лагранжа многомерной механической системы в приближении малых колебаний. Постоянную в потенциальной энергии можно опустить. Используя формулы (5.40) и (5.42), для функции Лагранжа в данном приближении получим (5.43)
Зависимость функции Лагранжа (5.43) oт обобщенных координат , и обобщенных скоростей , задана явно. Форма этой зависимости одинакова для всех механических систем, удовлетворяющих поставленным выше условиям. Свойства конкретной механической системы проявляются в функции Лагранжа только через значения постоянных коэффициентов и
Чтобы записать уравнения Лагранжа для функции Лагранжа (5.43), вычислим производные от нее по и . Эти производные равны
; (5-44) Ограничимся только уравнениями Лагранжа в отсутствие трения. Подстановка в уравнения Лагранжа частных производных из (5.44) дает (5.45)
Уравнения Лагранжа (5.45) представляют собой однородную систему линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Решение их ищется в форме (5.46)
где и — постоянные, которые необходимо найти. При подстановке из (5.46) в уравнения Лагранжа (5.45) получим характеристическую систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно постоянных :
(5.47)
Так как система уравнений (5.47) — однородная система, то она имеет отличные от нуля решения для только тогда, когда ее определитель равен нулю. Условие равенства нулю определителя (5.48)
дает уравнение для нахождения постоянной . Если система имеет степеней свободы, то матрицы и имеют размерность .
Поэтому уравнение (5.48) будет алгебраическим уравнением степени относительно . Такое уравнение имеет корней, которые обозначим как . Греческий индекс для обозначения номера решения введен специально для того, чтобы отличать номер решения от номера координаты. Корни могут быть кратными, но вследствие положительной определенности матриц и они обязательно будут положительными. Поэтому являются действительными числами. Они определяют частоты колебаний, которые могут происходить в механической системе, и называются собственными частотами.
Для каждой частоты система уравнений (5.47) становится линейно зависимой. Поэтому одно из уравнений системы, которое линейно выражается через другие, можно отбросить. В случае кратных корней таких отбрасываемых уравнений будет несколько. В оставшейся системе уравнений одно или для кратных корней несколько неизвестных из переносим в правую часть и получившуюся систему уравнений решаем. Решение системы — набор постоянных — можно рассматривать как вектор в -мерном линейном пространстве. Кратному корню отвечает линейное подпространство, каждый вектор которого будет решением системы (5.47). Размерность подпространства равна кратности корня. Таким путем находятся векторов
Подставим два вектора с различными номерами и в систему уравнений (5.47) и запишем вытекающие оттуда соотношения:
; (5.49)
Домножая первое из них на , а второе на , суммируя еще по индексу i и вычитая одно из другого, получим результат:
(5.50)
Если , то двойная сумма в (5.50) равна нулю. Для кратных корней, когда и , , в линейном подпространстве решений можно всегда подобрать векторы, для которых двойная сумма также обратится в нуль. Наконец, для одинаковых векторов двойная сумма не определена. Вследствие положительной определенности матрицы она положительна. Можно потребовать, чтобы эта сумма равнялась единице. В результате получим
следующие алгебраические условия, которым удовлетворяют векторы :
; (5.51)
Двойную сумму в (5.51) можно рассматривать как определение скалярного произведения в линейном пространстве векторов . Тогда соотношения (5.51) будут условиями ортонормированности векторов , . При выполнении условий (5.51) из уравнений (5.47) получим (5.52)
Из (5.52) видно, что при положительно определенной матрице квадраты частот будут положительными. Подставляя полученные решения для в (5.46), получим частных решений системы (5.45): (5.53)
Так как система дифференциальных уравнений (5.45) — однородная система, то ее общее решение дается суммой частных решений, домноженных на произвольные постоянные: (5.54)
Решение (5.54) записано в комплексной форме. Представим в виде и перейдем к действит. записи (5.55)
Зависимость каждой координаты от времени задается в виде конечной суммы гармонических колебаний. В эту сумму входят только колебания с собственными частотами. Амплитуды и начальные фазы определяются начальными условиями. Коэффициенты не зависят от начальных условий.
Обозначим отдельные колебания, входящие в сумму (5.55). Тогда решение (5.55) запишется в форме (5.56)
Выражения (5.56) можно рассматривать как формулы преобразования от координат к координатам , где матрица координатного преобразования дается постоянными . Если примените это координатное преобразование непосредственно к функции Лагранжа, то можно получить
(5.57)
(5.58)
(5.59)
Функция Лагранжа (5.59) имеет наиболее простой вид. Координаты , в которых функция Лагранжа принимает вид (5.59), называются нормальными координатами. Собственные частоты также называются нормальными частотами. Уравнения Лагранжа для каждой из нормальных координат имеют вид уравнений одномерных свободных колебаний: (5.60)
Очевидно, что решение уравнений (5.60) для каждой нормальной координаты - это одномерное гармоническое колебание (5.61)
Преобразование (5.56) к нормальным координатам было проведено нами после решения системы дифференциальных уравнений, описывающих малые колебания. Как правило, нормальные координаты не являются координатами каких-либо частей механической системы, а представляют собой расчетные величины. Однако можно задать такие начальные данные, когда все координаты механической системы будут изменяться по гармоническому закону с одной из нормальных частот. Для этого начальные данные нужно выбрать так, чтобы амплитуды всех нормальных колебаний, кроме одной, были равны нулю. Тогда в суммах (5.55) останется только по одному слагаемому, которое и будет определять частоту малых колебаний для всех координат.