19) Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется выражение вида  , где  , –многочлены степеней n и m соответственно.

Если  , рациональная дробь называется правильной, в противном случае  –неправильной.

Если дробь неправильная, из нее можно выделить целую часть, разделив числитель на знаменатель.

Например,  –неправильная рациональная дробь. Выполним деление:

		остаток

Таким образом, неправильную дробь можно представить в виде суммы целой рациональной функции (многочлена) и правильной дроби:

.

Простейшими рациональными дробями называются правильные рациональные дроби следующих четырех типов:

,

где A, B, C, a, p, q–числа, 

Покажем на примерах, как интегрируются дроби каждого типа.

Дробь 1–го типа:

Дробь 2–го типа:

Дробь 3–го типа: =[выделим в знаменателе полный квадрат и введем новую переменную: ;      ]= =[разобьем интеграл на сумму двух интегралов, первый из которых вычислим подведением под знак дифференциала, второй–табличный]= 

Дроби 4–го типа интегрируются с помощью специальной рекуррентной формулы, которую мы рассматривать не будем.

Если правильная дробь не является простейшей, ее представляют в виде суммы простейших дробей.(См Гл.I, §2, 30

20) Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Рассмотрим интегралы вида  . Если хотя бы одно из чисел  или  - нечетное положительное число, то отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы  оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

Пример 14. Найти  .

Решение. Имеем

 

Если   и  - четные неотрицательные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:

;  ;  .

Пример 15. Найти  .

Решение.

.

Универсальная тригонометрическая подстановка

Определение. Универсальной тригонометрической подстановкой называются выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента.

sinx=2tgx21+tg2x2 x = +2 n n Z;

cosx=1+tg2x21−tg2x2 x = +2 n n Z;

tgx=2tgx21−tg2x2 x = +2 n n Z x =2 + n n Z;

ctgx=2tgx21−tg2x2 x = n n Z x = +2 n n Z.

21)Интегрирование некоторых иррациональностей

  Через R(u,v,…,w) здесь обозначается рациональная функция, то есть выражение, которое может быть получено с помощью конечного числа операций сложения и деления над выражениями u,v,…,w и произвольными константами. Отметим, что суперпозиция рациональных функций будет также рациональной функцией. Примеры решения задач курс лекций Первообразная функцияИнтегральное исчисление.

Пример. Функция указанного в интеграле вида представлена ниже

=  Дифуры Математика лекции примеры решения задач

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональных функций с помощью замены  , m – общий знаменатель дробей a,…,g. В рассмотренном выше примере m=18.