Решение:

35)Несобственные интегралы первого и второго рода

Рассмотрим так называемые несобственные интегралы, т. е. определенный интеграл от непрерывной функции, но с бесконечным промежутком интегрирования или определенный интеграл с конечным промежутком интегрирования, но от функции, имеющей на нем бесконечный разрыв.

40.1. Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)

Пусть функция ƒ(х) непрерывна на промежутке [а;+∞). Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом первого р одаи обозначают

Таким образом, по определению

В этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если же указанный предел не существует или он бесконечен,то говорят, что интеграл  dxрасходится.

Аналогичноопределяется несобственный интеграл на промежутке (-∞; b]:

Несобственный интеграл с двумя бесконечны ми пределами определяется формулой

 где с — произвольное число.

В этом случае интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа. Отметим, что если непрерывная функция ƒ (х) ≥ 0 на промежутке [а; +∞) и интеграл сходится, то он выражает площадь бесконечно длинной криволинейной трапеции (см. рис. 172).

 

Пример 40.1. Вычислить несобственные интегралы или установить их расходимость:

1)  2) 3)

Решение:

1)  интеграл сходится;

2) интеграл расходится, так как при а→-∞ предел не существует.

3)интеграл расходится.

В некоторых задачах нет необходимости вычислять интеграл; достаточно лишь знать, сходится ли он или нет.

Приведем без доказательства некоторые признаки сходимости.

 

Теорема 40.1 (признак сравнения). Если на промежутке [а; +∞) непрерывные функции ƒ(х) и φ(х) удовлетворяют условию 0 ≤ ƒ(х) ≤ φ(х), то из сходимости

интеграла следует сходимость интеграла а из расходимо-

сти интеграла  следует расходимость интеграла

36)Определение функций нескольких переменных

Е сли каждой совокупности значений "n" переменных

из некоторого множества D этих совокупностей соответствует своё единственное значение переменной z, то говорят, что на множестве D задана функция

"n" переменных.

Множество D, указанное в определении 1.1, называется областью определяния илиобластью существования этой функции.

Если рассматривается функция двух переменных, то совокупности чисел

обозначаются, как правило, (x, y) и интерпретируются как точки координатной плоскости Oxy, а область определения функции z = f ( x, y ) двух переменных изобразится в виде некоторого множества точек на плоскости Oxy.

Так, например, областью определения функции

является множество точек плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют соотношению

т. е. представляет собой круг радиуса r с центром в начале координат.

Для функции

областью определения служат точки, которые удовлетворяют условию

т. е. внешние по отношению к заданному кругу.

Часто функции двух переменных задаются в неявном виде, т. е. как уравнение

связывающее три переменные величины. В этом случае каждую из величин x, y, z можно рассматривать как неявную функцию двух остальных.

Геометрическим изображением (графиком) функции двух переменных z = f ( x, y )является множество точек P ( x, y, z) в трехмерном пространстве Oxyz, координаты которых удовлетворяют уравнению z = f ( x, y ).

Графиком функции непрерывных аргументов, как правило, является некоторая поверхность в пространстве Oxyz, которая проектируется на координатную плоскость Oxy в область определения функции z= f ( x, y ). 

Так, например, (рис. 1.1) графиком функции    является верхняя половина сферы, а графиком функции

  - нижняя половина сферы. 

Графиком линейной функции z = ax + by + с является плоскость в пространстве Oxyz, а графиком функции z = сonst служит плоскость, параллельная координатной плоскости Oxyz.

Заметим, что функцию трех и большего числа переменных изобразить наглядно в виде графика в трехмерном пространстве невозможно.

В дальнейшем будем в основном ограничиваться рассмотрением функций двух или трех переменных, так как рассмотрение случая большего (но конечного) числа переменных производится аналогично.

Предел

Предел функции. Число L называется пределом функции  y = f ( x ) при  x, стремящемся к  a :

если для любого    > 0 найдётся такое положительное число   =   (   ), зависящее от   , что из условия | x - a | <   следует  |  f ( x ) – L | <   .

Это определение означает, что L есть предел функции  y = f ( x ), если значение функции неограниченно приближается к  L , когда значение аргумента  x приближается к  a.

Непрерывность

Функция f (x), определенная в некоторой окрестности точки a, называется непрерывной в этой точке, если 

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки a, быть может, за исключением самой точки a. Точка a называется точкой разрыва, если эта функция либо не определена в точке a, либо определена, но не является непрерывной в точке a.

Чаще всего разрыв возникает по двум причинам:

функция задана различными выражениями на разных участках, и в граничных точках эти выражения имеют различные пределы;

функция не определена в данной точке.

Частные производные функции нескольких переменных

Пусть М(х₁, х₂, ..., х_m) внутренняя точка области определения функции u=f(x₁, ..., x_m). Пусть  x_k - приращение k-ой координаты в данной фиксированной т.М, ему соответствует частное приращение функции

x_ku   f(x₁, ..., x_k-1, x_k +  x_k, x_k+1, ..., x_m) - f(x₁, ..., x_m).

Рассмотрим отношение  , которое зависит от  x_k и определено при всех достаточно малых  x_k, отличных от нуля.

Определение 1. Если существует  , то он называется частной производной функции u=f(x₁, ..., x_m) в т. М(x₁, ..., x_m) по аргументу x_k и обозначается одним из символов:  . Таким образом,  .

Замечание. Так как изменяется только x_k +  x_k, т.е. k-я координата аргумента функции f, то частная производная   является обыкновенной производной функции f как функции только k-й переменной (при фиксированных остальных переменных). Это позволяет вычислить частные производные по одной из переменных по обычным формулам дифференцирования, если зафиксировать все остальные переменные.

Пример 1. u = x² + 3xy - y

     вычисляем при условии, что y = const

     вычисляем при условии, что x = const