5)Критические точки

Мы рассмотрели поведение функции на промежутках, где f(х)>0 и f'(х)<0. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции. Эти точки играют важную роль при построении графика функции, поскольку только они могут быть точками экстремума функции (рис. 1 и 2). Сформулируем соответствующее утверждение, его называют теоремой Ферма (в честь французского математика Пьера Ферма).

Условия существования экстремума Необходимое условие экстремума. Если точка хо является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f’, то она равна нулю:F’(x₀) =0. Рассмотрим случай f'(x₀)>0. По определению производной отношение   при х→х0 стремится к положительному числу f' (х₀), а следовательно, и само будет положительно при всех х, достаточно близких к x₀. Для таких х

и, значит, f(x)>f(x₀) для всех х>х₀ из некоторой окрестности точки x₀. Поэтому х₀ не является точкой максимума. Если же х<х₀, то f (x)<f(x₀), и, следовательно, х₀ не может быть и точкой минимума f. Случай F'(x₀)<0 разбирается аналогично.

Важно отметить, что теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума: из того, что производная в точке хо обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум. Например, производная функции f(х)=х³ обращается в нуль в точке 0, но экстремума в этой точке функция не имеет (рис. 3). До сих пор мы рассматривали критические точки, в которых производная равна нулю. Рассмотрим теперь критические точки, в которых производная не существует. (Отметим, что, например, точка 0 для функции   не является критической: в ней производная не существует, но она не внутренняя точка области определения.) В этих точках функция также может иметь или не иметь экстремум.

6) Правило вычисления наибольшего и наименьшего значения гладкой функции на отрезке

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим  производную функции

3. Приравниваем производную  к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции  , то функция   возрастает на этом  промежутке.

Если на промежутке I производная функции  , то функция   убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с «+» на «-».

В точке минимума функции производная меняет знак с «-» на «+».

6. Находим значение функции в концах отрезка,

затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции

или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

7)Ассимптоты

Асимптотой графика функции называется прямая, к которой неограниченно приближается график функции при   или  .

Различают вертикальные и наклонные асимптоты (в частности, горизонтальные).

Прямая х = а называется вертикальной асимптотой, если хотя бы один из односторонних пределов 

f  (а + 0),  f (а –  0) равен бесконечности или не существует, то есть в точке х = а функция терпит разрыв второго рода.

Пример 24. Найти вертикальн ые асимптоты функции

.

Решение. Знаменатель дроби равен нулю в точках х = – 1, х = +1. Значит функция в этих точках не определена. Классифицируем разрыв, вычислив односторонние пределы. Эту работу можно уменьшить, если учесть чётность функции:  у(– х) = у(х) (см. рис. 25). Исследуем только одну из точек разрыва, например,  х = – 1:

,

.

Следовательно, прямые х = – 1, х = 1 –  вертикальные асимптоты.

Прмая у = b называется горизонтальной асимптотой, если выполняется условие  .

В частности, это полупрямая у = b при   или  .

Так в примере 23 функция   имеет горизонтальную асимптоту у = 0, так как   (см. рис. 25).

Определение 2. Прямая у = k х + b называется наклонной асимптотой графика функции f(х) при   , если эту функцию можно представить в виде:

f (х) = kх + b + a (х), где  .

То есть разность a  (х) между ординатами точек кривой и асимптоты при   ( ) есть величина бесконечно малая.

Теорема. Чтобы график функции имел наклонную асимптоту, необходимо и достаточно, чтобы имели место соотношения:

  ,    , (21)

причём при   и при   эти пределы могут быть неравными, то есть кривая может иметь различные асимптоты при   и .

Если k  = 0,  , уравнение асимптоты принимает вид

у = b, то есть получаем уравнение горизонтальной асимптоты.

Пример 25. Найти асимптоты графиков функций:

25.1.  ;          25.2.  .