- •3) Признаки монотонности функции
- •4)Признак выпуклости и вогнутости функции
- •Условия существования
- •5)Критические точки
- •Решение
- •10)Дифференциал функции
- •11)Комплексные числа
- •Пример 1
- •12)Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Пример 1
- •13)Показательная форма комплексного числа
- •14)Первообразная
- •Замена переменных в неопределенном интеграле
- •19) Интегрирование рациональных дробей
- •20) Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •Решение.
- •21)Интегрирование некоторых иррациональностей
- •2. Подстановки Эйлера
- •24)Теорема о среднем значении
- •25)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •26) Формула Ньютона-Лейбница
- •27)Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
- •Площадь криволинейного сектора.
- •Решение:
- •37)Производные высших порядков
- •41)Производная по направлению
- •42)Градиент
- •43) Локальный мах и мин
- •Определение 1.12.
- •44)Наибольшее и наименьшее значение гладких функций нескольких переменных
- •46)Касательная плоскость и нормально к гладкой поверхности
Площадь криволинейного сектора.
Пусть кривая Г задана в полярной системе координат уравнением
где - неотрицательная и непрерывная на отрезке функция. Тогда плоскую фигуру G, огранич2енную кривой Г и, быть может, отрезками двух лучей, составляющих с полярной осью углы и (рис 3), назовемкриволинейным сектором.
Утверждение 2. Криволинейный сектор G – квадрируемая фигура, площадь которой S выражается формулой
32)Длина дуги в декартовых координатах
Длина дуги в прямоугольной системе координат
О: Под длиной дуги кривой понимается предел, к которому стремится длина вписанной в нее ломанной, если длина самого большого ее звена стемится к нулю.
Допустим, что кривая определена уравнением , при этом представлена в качестве непрерывно дифференцируемой функции на . Разделим ее на частей посредством точек с абсциссами и проведем через данные точки хорды (рис. 18.9, а). В результате имеем вписанную ломанную с длиной ее -го звена
Здесь L, составляет Из определения длины дуги следует Поскольку правая часть представляет собой интегральную сумму для функции , то
Пример: Найти длину дуги окружности , если (рис. 18.9, б).
18.3.2. Длина дуги кривой в параметрической форме
Предположим, что уравнение кривой L определено в параметрической форме: , здесь функции являются непрерывно дифференцируемыми на , при этом на . В этом случае
Пример: Вычислить длину окружности, определенной параметрическими уравнениями при
18.3.3. Длина дуги в полярных координатахДопустим, что уравнение кривой L в полярных координатах , при этом функция является непрерывно дифференцируемой на . С помощью формул перехода от полярных координат к декартовым и рассматривая в качестве параметра угол , запишем параметрические уравнения кривой В этом случае
Пример: Определить длину дуги логарифмической спирали (рис. 18.10).
33)Объем и поверхность вращения
34)Применение определенного интеграла к решения физических задач
Пусть к движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой переменная сила F=f(x), где f(x) есть непрерывная функция от х – координаты движущейся точки. Работа силы F при передвижении точки от a до b равна
где a=x0<x1<…<xn=b, ?xj=xj+1-xj
в силу непрерывности функции f(x) произведение близко к истинной работе на отрезке [xj; xj+1], а сумма таких произведений близка к истинной работе на отрезке [a; b], и притом тем ближе, чем меньше наибольший из всех ?xj.
№ 4.
К движущейся по прямой точке приложена направленная вдоль этой прямой сила F=2х-1, где х – координата движущейся точки. Вычислите работу силы F по перемещению точки от 0 до 3. (слайд 17)
Решение:
2. Масса стержня переменной плотности (слайд 18)
Будем считать, что отрезок [a; b] оси Ох имеет массу с переменной линейной плотностью , где - непрерывная на отрезке [a; b] функция. Общая масса этого отрезка , где a=x0<x1<…<xn=b, ?xj=xj+1-xj
№ 5. Вычислить массу стержня на отрезке от 0 до 2, если его плотность задаётся функцией (слайд 19)