- •3) Признаки монотонности функции
- •4)Признак выпуклости и вогнутости функции
- •Условия существования
- •5)Критические точки
- •Решение
- •10)Дифференциал функции
- •11)Комплексные числа
- •Пример 1
- •12)Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Пример 1
- •13)Показательная форма комплексного числа
- •14)Первообразная
- •Замена переменных в неопределенном интеграле
- •19) Интегрирование рациональных дробей
- •20) Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •Решение.
- •21)Интегрирование некоторых иррациональностей
- •2. Подстановки Эйлера
- •24)Теорема о среднем значении
- •25)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •26) Формула Ньютона-Лейбница
- •27)Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
- •Площадь криволинейного сектора.
- •Решение:
- •37)Производные высших порядков
- •41)Производная по направлению
- •42)Градиент
- •43) Локальный мах и мин
- •Определение 1.12.
- •44)Наибольшее и наименьшее значение гладких функций нескольких переменных
- •46)Касательная плоскость и нормально к гладкой поверхности
11)Комплексные числа
Комплексным числом называется выражение вида a + ib, где a и b – любые действительные числа, i – специальное число, которое называется мнимой единицей. Для таких выражений понятия равенства и операции сложения и умножения вводятся следующим образом: Два комплексных числа a + ib и c + id называются равными тогда и только тогда, когда
Суммой двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
Произведением двух комплексных чисел a + ib и c + id называется комплексное число
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
Комплексные числа часто обозначают одной буквой, например, z = a + ib. Действительное число a называется действительной частью комплексного числа z, действительная часть обозначается a = Re z. Действительное число b называется мнимой частью комплексного числа z, мнимая часть обозначается b = Im z. Такие названия выбраны в связи со следующими особыми свойствами комплексных чисел.
Заметим, что арифметические операции над комплексными числами вида z = a + i · 0 осуществляются точно так же, как и над действительными числами. Действительно,
|
|
Следовательно, комплексные числа вида a + i · 0 естественно отождествляются с действительными числами. Из-за этого комплексные числа такого вида и называют просто действительными. Итак, множество действительных чисел содержится в множестве комплексных чисел. Множество комплексных чисел обозначается . Мы установили, что , а именно
В отличие от действительных чисел, числа вида 0 + ib называются чисто мнимыми. Часто просто пишут bi, например, 0 + i3 = 3i. Чисто мнимое число i1 = 1i = i обладает удивительным свойством:
|
Таким образом,
|
С учётом этого замечательного соотношения легко получаются формулы сложения и умножения для комплексных чисел. Нет нужды запоминать сложную формулу для произведения комплексных чисел – если на комплексные числа смотреть как на многочлены с учётом равенства то и перемножать эти числа можно как многочлены. В самом деле,
|
то есть как раз получается нужная формула.
Пример 1
Вычислить z1 + z2 и z1z2, где z1 = 1 + 2i и z2 = 2 – i.
Решение
Имеем
Ответ. z1 + z2 = 3 + i, z1z2 = 4 + 3i. |
Алгебраическая форма комплексного числа
Обозначения, терминология
где i - мнимая единица; a - действительная часть: a = Re z; bi - мнимая часть: b = Im z; числа вида bi - чисто мнимые; плоскость Oxy - комплексная плоскость; ось Ох - действительная ось; ось Oy - мнимая ось;
- число, сопряженное числу z = a + bi;
- модуль комплексного числа; либо , - аргумент комплексного числа z (главное значение аргумента);
Arg z - множество аргументов числа z:
Действия над комплексными числами
Если то: