- •3) Признаки монотонности функции
- •4)Признак выпуклости и вогнутости функции
- •Условия существования
- •5)Критические точки
- •Решение
- •10)Дифференциал функции
- •11)Комплексные числа
- •Пример 1
- •12)Тригонометрическая форма комплексного числа
- •Пример 1
- •13)Показательная форма комплексного числа
- •14)Первообразная
- •Замена переменных в неопределенном интеграле
- •19) Интегрирование рациональных дробей
- •20) Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •Решение.
- •21)Интегрирование некоторых иррациональностей
- •2. Подстановки Эйлера
- •24)Теорема о среднем значении
- •25)Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу
- •26) Формула Ньютона-Лейбница
- •27)Формула интегрирования по частям для определенного интеграла
- •Площадь криволинейного сектора.
- •Решение:
- •37)Производные высших порядков
- •41)Производная по направлению
- •42)Градиент
- •43) Локальный мах и мин
- •Определение 1.12.
- •44)Наибольшее и наименьшее значение гладких функций нескольких переменных
- •46)Касательная плоскость и нормально к гладкой поверхности
Определение 1.12.
Если в точке M0 выполняются условия (1.41), то она называется стационарной точкой функции z (x,y).
Теорема 1.4 (достаточные условия экстремума).
Пусть задана z =z (x,y), (x,y) D, которая имеет частные производные второго порядка в некоторой окрестности точки M0(x0,y0) D. Причем M0 - стационарная точка (т. е. необходимые условия (1.41) выполнены). Вычислим:
Если:
Доказательство теоремы использует темы (формула Тейлора функции нескольких переменных и теория квадратичных форм), которые в этом пособии не рассматриваются.
44)Наибольшее и наименьшее значение гладких функций нескольких переменных
Теорема 1.5 Пусть в замкнутой области D задана функция z=z(x,y), имеющая непрерывные частные производные первого порядка. Граница Г области D является кусочно гладкой (т. е. состоит из кусков "гладких на ощупь" кривых или прямых). Тогда в области Dфункция z(x,y) достигает своего наибольшего M и наименьшего m значений.
Без доказательства.
Можно предложить следующий план нахождения M и m. 1. Строим чертёж, выделяем все части границы области D и находим все "угловые" точки границы. 2. Находим стационарные точки внутри D. 3. Находим стационарные точки на каждой из границ. 4. Вычисляем во всех стационарных и угловых точках, а затем выбираем наибольшее M и наименьшее m значения.
Пример 1.14 Найти наибольшее M и наименьшее m значения функции z = 4x2-2xy+y2-8x в замкнутой области D, ограниченной: x = 0, y = 0, 4x+3y=12 .
Решение
1. Построим область D (рис. 1.5) на плоскости Оху.
Угловые точки: О (0; 0), В (0; 4), А (3; 0).
Граница Г области D состоит из трёх частей:
2. Найдём стационарные точки внутри области D:
3. Стационарные точки на границах l1, l2, l3:
4. Вычисляем шесть значений:
Из полученных шести значений выбираем наибольшее и наименьшее.
Ответ:
45)Условный экстремум функции двух переменных
Метод множителей Лагранжа
, метод нахождения условного экстремума функции , где , относительно ограничений , где меняется от единицы до .
Составим функцию Лагранжа в виде линейной комбинации функции и функций , взятых с коэффициентами, называемыми множителями Лагранжа — :
где .
Составим систему из уравнений, приравняв к нулю частные производные функции Лагранжа по и .
Если полученная система имеет решение относительно параметров и , тогда точка может быть условным экстремумом, то есть решением исходной задачи. Заметим, что это условие носит необходимый, но не достаточный характер.
46)Касательная плоскость и нормально к гладкой поверхности
Гладкие поверхности Касательная и нормаль в поверхности.
Пусть f(x) определена на множестве D и M0=(x0,y0) внутренняя точка области D. Рассмотрим поверхность Ф, определяемую графиком функции z=f(x,y) на D. Введем следующие обозначения P=(x,y, f(x.y)) =(M, f(M)), M=(x,y),
P0=(x0, y0, z0) =(x0,y0, f(x0,y0))= ( M0, f(M0)), M0= (x0, y0 ).
Плоскость
Z – z0 = A(x – x0) +B(y – y0) (a ),
проходящая через точку P0 называется касательной плоскостью к поверхности Ф, если разность между аппликатой точки P=(x,y, f(x.y)) и точки Q(x,y,z)Î(a ) есть o(r) при r®0 (r =r(M,M0)).
f(x,y) – [z0 + A(x – x0) +B(y – y0)]=o(r(M,M0)) (1) Найти объем тела, заданного ограничивающими его поверхностями я
(см. рис. ch5_4_1.swf).
Теорема. Для существования касательной плоскости к поверхности z = f(x,y) в точке M0(x0,y0) необходимо и достаточно дифференцируемости функции f в точке M0. Причем коэффициенты A, B ( координаты нормального вектора) равны
.
Доказательство следует из определения дифференцируемости.
Замечание. Касательная плоскость, если она существует, определяется единственным образом.
Вектора называются единичными нормалями к поверхности в заданной точке.
Определение. Поверхность z = f(x,y) , (x,y)ÎD называется гладкой, если функция f(x,y) непрерывно дифференцируема на D, т.е. имеет там непрерывные частные производные. Геометрически это означает непрерывное изменение касательной плоскости или вектора нормали при перемещении по поверхности.
Нормалью к поверхности в некоторой ее точке называется прямая, направляющий вектор которой является нормальным к поверхности в этой точке и которая проходит через эту точку.
Канонические уравнения нормали можно представить в виде
|
|
|
Касательной плоскостью к поверхности в некоторой точке называется плоскость, которая проходит через эту точку перпендикулярно нормали к поверхности в этой точке.
Из этого определения следует, что уравнение касательной плоскости имеет вид:
|
|
F'x (x0, y0, z0) · (x − x0) + F'y (x0, y0, z0) · (y − y0) + F'z (x0, y0, z0) · (z − z0) = 0