Решение

25.1. Функция не определена в точке х = 3 (знаменатель дроби равен нулю). Классифицируем разрыв с помощью односторонних пределов:

.

Значит, функция в точке х = 3 терпит бесконечный разрыв и через эту точку проходит вертикальная асимптота х = 3. Найдём наклонную асимптоту, используя соотношения (21)

   .

Получили горизонтальную асимптоту у = 1. Строим график функции, подсчитав ориентировочную точку (6,2) (см рис. 26).

25.2. Функция   разрывна в точке х = 2.

Вычисляем односторонние пределы:

    .

Значит, х = 2 –  уравнение вертикальной асимптоты. Ищем уравнение наклонной асимптоты в виде у = k х + b :

Уравнение асимптоты  (см. рис.

8)Общая схема исследования функций и построение графика

Чтобы построить график функции, рекомендуется исследовать ее по следующей схеме:

1) найти область определения функции, промежутки непрерывности и точки разрыва;

2) найти асимптоты графика функции;

3) проверить симметрию графика, периодичность;

4) найти интервалы монотонности, экстремумы;

5) найти интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба;

6) найти точки пересечения с осями координат;

7)  провести в случае необходимости исследование на концах области определения;

8) построить график функции.

Замечание. В п. 3 проверяется симметрия графика относительно оси OY, которая имеет место в случае четной функции

 или симметрия относительно начала координат для нечетной функции

Пример:

1) -т.р.;

2)  находим — вертикальная асимптота.

Для асимптоты у = kх + b:

т.е. наклонной асимптоты нет;

3)  график симметрией, периодичностью не обладает;

4) находим при — подозрительная на экстремум,  в точках, которые не входят в 

Имеем таблицу:

(Поскольку на то на

 на и

5) находим у " = О при ln х = 2 x = — по-

дозрительная на перегиб, в точках, которые не входят в 

Составим таблицу:

(Поскольку на то на

 на

6) точек пересечения с осями координат нет;

7)  исследуем поведение функции при х 0:

8)  строим график функции (рис.10.16)

9)Механический смысл первой и второй производной

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S=f(t). Как уже известно, производная S¢ t равна скорости точки в данный момент времени: S't=V.  Покажем, что вторая производная от пути по времени есть величина, ускорения прямолинейного движения точки, т. е. S"=α.  Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t+∆t — скорость равна V+∆V, т. е. за промежуток времени ∆t скорость изменилась на величину ∆V.  Отношение ∆V/∆t выражает среднее ускорение движения точки за время ∆t. Предел этого отношения при ∆t→0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой α:  Но V=S't. Поэтому α=(S't)', т. е. α=S't'

10)Дифференциал функции

Итак, график дифференцируемой функции в окрестности каждой своей точки сколь угодно близко приближается к графику касательной в силу равенства:  где α – бесконечно малая в окрестности X₀   функция. Для приближенного вычисления значения функции f в точке x₀ + Δx эту бесконечно малую функцию можно отбросить: 

Линейную функцию   называют дифференциалом функции f в точке x₀ и обозначают df. Для функции x производная в каждой точке x₀  равна 1, то есть   Поэтому пишут: 

Приближенное значение функции вблизи точки x₀ равно сумме ее значения в этой точке и дифференциала в этой же точке. Это дает возможность записать производную следующим образом: 

Часто эту запись используют, чтобы уточнить, по какой переменной дифференцируется функция.

Модель 3.3. Дифференциал функции

Геометрически дифференциал функции df – это приращение ординаты касательной к графику функции в данной точке при изменении абсциссы точки на dx.