1.2. Методические рекомендации использования информационно – коммуникационных технологий на уроках алгебры и начал анализа при изучении темы «Производная и ее применение»

Без сомнения, все наше знание начинается с опыта. (И. Кант, немецкий философ, 1724-1804 гг.) [3,c.47] Тема «Производная» является одной из основных тем математического анализа. С помощью производной, учитывая ее механический и геометрический смысл, можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. По учебнику А. Г. Мордковича «Алгебра и начала анализа» [5] тема «Производная» изучается в 10 классе во втором полугодии, на изучение данного материала отводится 30 часов. Особенностью учебника является четкая последовательность изложения теоретического материала. Изложение элементов математического анализа можно назвать не формальным, так как автор дает возможность почувствовать общекультурное и общеприкладное значение той математической модели, которая называется «Производная». Учебник написан доступным языком, подробно и обстоятельно. Приоритетной в курсе является функционально-графическая линия, ключевые слова – стержень курса – математическая модель, математический язык. Структура задачника: в каждом параграфе трехуровневый набор заданий, нумерации упражнений отдельная в каждом параграфе. Первые два параграфа главы 4 (п. 29 « Числовые последовательности»и п. 30«Предел числовой последовательности») посвящены последовательностям. По большому счету, материал, содержащийся в них, имеет (для школьного курса) вспомогательный характер. Здесь существенны три момента, и именно на них необходимо сделать упор в обучении. Во-первых, понятие предела последовательности интуитивно воспринимается учащимися легче, чем понятие предела функции непрерывного аргумента, что целесообразно использовать при первом знакомстве с теорией пределов. Во-вторых, открывается возможность показа им важной и новой для них математической модели –бесконечной суммы(т.е.числового ряда) – на примере суммы бесконечной геометрической прогрессии. В-третьих, закладывается теоретическая база для введения тонкого понятия степени с иррациональным показателем. Ключевое положение в главе 4 занимает п. 32 «Определение производной». Он начинается с двух классических задач – задачи о скорости и задачи о касательной, процесс решения которых приводит к математической модели – пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю. Многие задачи из других областей знаний приводят в процессе решения к такой же модели. Заняться изучением новой модели означает, что нужно:

1) присвоить ей новый термин;

2) придумать для нее новое обозначение;

3) изучить правила оперирования с новой моделью и сферу ее приложимости. Для рассматриваемой модели используется термин производная и обозначение у. В п. 32 приведен пятишаговый алгоритм отыскания производной функции у=f(x). Важен первый шаг алгоритма: «зафиксировать значение х, найти f(x)». Этот шаг очень важен как с методологической точки зрения, так и с психолого-педагогической точки зрения – это этап сосредоточения на задаче, вхождение в процесс решения. В п. 33 «Вычисление производных» разработан технический аппарат для оперирования с новой моделью – формулы и правили вычисления производных. Необходимо обратить внимание учеников, что есть формулы дифференцирования и правила дифференцирования. При вычислении производной используется двухшаговый алгоритм: сначала применяется то или иное правило дифференцирования, а затем используется нужная формула дифференцирования. В учебнике отсутствует правило дифференцирования сложной функции; имеется лишь его частный случай – правило дифференцирования функции вида: y=f(kx+m). П. 34 «Уравнение касательной к графику функции», вопреки сложившейся традиции, абсцисса точки касания обозначается не буквой х₀ , а буквой а. Это полезно в более сложных случаях, когда абсцисса точки касания неизвестна и она фактически выступает в роли параметра. Основные сюжеты, связанные с задачами на касательную:

1) составление уравнения касательной к графику функции;

2) проведение касательной параллельно заданной прямой;

3) отыскание угла, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс;

4) проведение касательной из точки, внешней по отношению к заданному графику. П. 35 «Применение производной для исследования функций на монотонность и экстремумы» посвящен исследованию функций с помощью производной. Здесь рассматриваются теоремы, необходимость знания которых по существу и явилась решающей причиной введения элементов математического анализа в школьный курс математики. По учебнику А. Н. Колмогорова «Алгебра и начала анализа» [3] тема «Производная и ее применение» изучается также во втором полугодии 10 класса. Материал изложен в трех параграфах: п. 4 «Производная», где дается определение производной через скорость изменения функции. Рассматривается понятие о непрерывности функции и предельном переходе, правила вычисления производных и таблица производной, производная сложной функции. В п. 5 «Применения непрерывности и производной» рассматривается уравнение касательной к графику функции, формула Лагранжа, применение производной для приближенных вычислений, использование производной в физике и технике. Раздел «Применение производной к исследованию функций» рассматривает признаки возрастания (убывания) функции, критические точки функции, максимумы и минимумы, применение производной к исследованию функции, нахождение наибольшего и наименьшего значений функции. В учебнике приводится исторический материал из истории дифференциального исчисления. В конце главы имеются вопросы и задачи на повторение. Важнейшей особенностью учебника является оптимальное сочетание высокого научного уровня материала и рационального выбора методических подходов к его изложению. На этой основе учитель формирует математическое мышление старшеклассников и обеспечивает точное понимание ими основных математических понятий. Весь теоретический и практический материал учебника дает возможность осуществлять изучение материала на различных уровнях: базовом и повышенном. Учебник Башмакова М. И. «Математика 10-11 класс» обеспечивает базовый уровень изучения математики. Он содержит весь необходимый материал, предусмотренный образовательным стандартом. Кроме обязательного минимума содержания в учебник включены дополнительные материалы развивающего характера. В качестве основной структурной единицы курса выбран учебный модуль, названный в тексте уроком. Каждая из семи глав содержит 5-7 уроков, с общим объемом 44 урока, по 22 урока на каждый класс.

Кроме учебника выпускается задачник, который содержит практический материал по всему курсу. Задачник призван дополнить основные задания прежде всего для тех учащихся, которые ставят перед собой расширенные цели обучения математике. Тема «Производная и ее применение» изучается в 10 классе. Материал размещен в трех параграфах: «Вычисление производной», «Исследование функции с помощью производной» и «Приложения производной». Первый параграф содержит материал: механический и геометрический смысл производной, определение производной, как предел отношения приращения функции к приращению аргумента., предельные переходы. Рассматривается схема вычисления производной, правила дифференцирования, производная степени и формула производная сложной функции, как правило дифференцирования функции вида: y=f(kx+m). Во втором параграфе изучается связь свойств функции и ее производной, особые точки и построение графика функции. В разделе «Приложения производной» рассматривается материал скорости и ускорения, дифференциал и задачи на максимум и минимум. В конце главы имеется заключительная беседа, где содержится дополнительный материал по теме «Производная». По учебнику Никольского С. М. «Алгебра и начала анализа» [4] тема«Производная» изучается в 11 классе. Материал изложен в двух параграфах: п. 4«Производная» и п. 5 «Применение производной». В п. 4 вводится понятие производной, как предел отношения приращения функции к приращению аргумента, правила дифференцирования, производная сложной функции. В п. 5 рассматривается максимум и минимум функции, уравнение касательной, приближенные вычисления., а также материал возрастания (убывания), экстремума функции, задачи на максимум и минимум и построение графиков функций с применением производной. Учебники серии «МГУ - школе» достаточно полно обеспечивают не только базовый, но и профильный уровень принятого стандарта. Они успешно используются как в общеобразовательных классах, так и в классах с углубленным изучением предмета. Сильной стороной учебника является система упражнений, построенная в соответствии с принципом от простого к сложному. Проведение современного урока математики предполагает использование новых технологий, в частности - применение компьютера при изучении и закреплении, а также контроле за качеством знаний учащихся. Опираясь на исследования ученых, можно выделить три основных формы использования компьютерных программ: 1) уроки с компьютерной поддержкой; 2) самостоятельная работа учащихся с программой; 3) дистанционное обучение (взаимодействие учителя и ученика через компьютерные сети).

На уроках с использованием ИКТ, также как и на других уроках, учителю для успешного проведения компьютерного урока приходится решать следующие задачи:

• дидактическая (подготовка учебного материала урока, конкретная компьютерная программа);

• методическая (определить методы использования компьютера в преподавании темы, анализ результатов урока, постановка следующей учебной цели);

• организационная (организовать работу, избегая перегрузки учащихся и нерациональной траты времени);

• учебная (выработать и закрепить у учащихся знания по рассматриваемой теме, умения и навыки работы с предложенной программой).

Исходя из вышеперечисленных задач, можно сказать, что методика подготовки уроков с использованием компьютерных программ включает в себя следующие этапы:

- постановка задачи учителем;

- самостоятельная работа по разработке компьютерной программы;

- использование подготовленной программы на уроках;

- внедрение программы для самостоятельной работы учащихся во внеурочное время.

Как показывает опыт, уроки с применением компьютерных систем не заменяют учителя, а наоборот, делают общение ученика с учителем более содержательным, индивидуальным и деятельным. Использование ЭВМ на уроках математики экономит время, повышает эффективность учебно-познавательного процесса. [12,c.49]

Использование ИКТ на отдельных этапах урока. При фронтальной работе на уроке возможности компьютера очень велики. Все средства обучения, рассчитанные на фронтальную работу в классе, можно сочетать с применением компьютера:

- проверку и самопроверку диктанта либо домашней работы можно быстро сделать, показав ответы на экране;

- во время работы по изучению нового материала с помощью компьютера можно показывать грамотное оформление задачи;

- во время подготовки к самостоятельной работе и при ее проведении также можно использовать компьютер; показать на экране образцы решения задач. Построение урока с использованием информационных технологий требует соблюдения определенных дидактических принципов и научно- методических положений, сформулированных в традиционной дидактике, и которые наполняются новым содержанием. Многолетние педагогические эксперименты показывают, что в развитии творческих способностей учащихся достигается большая эффективность, если учащийся выполняет задание самостоятельно. В большей степени это возможно на уроках с использованием ИКТ.

При конструировании урока можно выделить следующие этапы:

1. Постановка цели - на данном этапе определяется дидактическая цель с ориентацией на достижение следующих результатов:

 Формирование, закрепление, обобщение или углубление знаний;

 Формирование умений;

 контроль усвоения материала.

Обязательно аргументируется необходимость использования ИКТ на данном уроке. С помощью ИКТ можно осуществить:

• регулирование объёма материала;

• формирование навыков и умений информационно - поисковой деятельности;

• необходимость объективного оценивания знаний и умений в короткие сроки. В соответствии с данными аргументами выбираются необходимые электронные ресурсы.

На основе сформулированных требований к образовательным ресурсам по дидактическим целям и методическому назначению проводится отбор ОЭР, выбирается форма урока (урок- презентация, урок- исследование, урок- практикум, поисково-исследовательский проект). Выделяются основные структурные элементы урока, осуществляется выбор способов взаимодействия различных компонентов (учитель-учащийся – ОЭР - учебный материал). Определяется необходимое аппаратное и программное обеспечение (локальная сеть, выход в Интернет, компьютер с проектором). [35, http://school-collection.edu.ru]. Конечно, в идеале учитель должен быть независим от материально- технического обеспечения, предоставляемого в его распоряжение. Однако на практике это далеко не так.

2.Поэтапное планирование урока. Для каждого из этапов определяется:

• цель;

• длительность этапа;

• форма организации деятельности учащихся;

• функции учителя и основные виды его деятельности;

• форма промежуточного контроля, на основании чего заполняется технологическая карта урока.

Необходимо учесть, что каждый этап урока с использованием ИКТ – это законченный блок, в начале каждого этапа должен присутствовать организационный момент, который необходимо четко выделять, иначе эффективность этапа снижается.

3. Этап педагогической реализации. Основная цель этапа - перевод психолого-педагогических принципов в конкретные обучающие воздействия. На уроке с использованием информационных технологий, учитель главным образом обеспечивает индивидуальный контроль за работой учащихся. Традиционно важными на этапе педагогической реализации остаются оценка текущих результатов и коррекция обучения, направленная на достижение поставленных целей. Очень важно понять, что применение ИКТ не ломает традиционной методики обучения, а является ее существенной составной частью. Средства и методы использования ИКТ на уроках алгебры и начал анализа по теме «Производная и ее применение»: а) Электронные учебники. Благодаря разнообразию выполняемых мультимедиа- учебниками функций, в практике школы их можно применять по нескольким направлениям.

Основные направления применения мультимедиа- учебников в обучении математике: Передача учебной информации; Самостоятельное изучение темы; Дифференцированный подход к обучению; Мотивация обучения; Демонстрация; сопоставление процессов и явлений математики, олимпиады Углубленное изучение; Подготовка докладов, Организация познавательной самостоятельной деятельности учащихся

На уроках математики и во внеурочной работе используются такие электронные учебники, как «Открытая математика. Функции и графики» Открытая Математика 2.6. Функции и Графики.lnk «Открытая математика. Алгебра» Открытая Математика 2.6. Алгебра.lnk Математика 5-11.lnk 19

«Математика, 5-11, практикум, Дрофа» ; «Математика, 5-11, практикум» Математика, 5-11 кл. Практикум.lnk ; «Готовимся к ЕГЭ. Математика» Готовимся к ЕГЭ. Математика.lnk ; «Сдаем ЕГЭ. Математика» Сдаём Единый экзамен 2004.lnk «ЕГЭ 2008. Тренировочные задания» и другие.[ 2, http://www.ict.edu.ru/003621//contents.html ] При помощи этих программ ученики самостоятельно могут проверить свой уровень знаний по теории, выполнить теоретико-практические задания. Здесь имеются теоретические вопросы, образцы выполнения заданий, задания для самопроверки. Программы удобны своей универсальностью. Они используются и для самоконтроля учащихся, и для контроля со стороны учителя. В своей практике применяю использование обучающих и контролирующих программ по отдельным темам курса математики для работы с учащимися, способными достаточно быстро усваивать учебный материал на обязательном уровне. Такие ученики поочередно работают в индивидуальном режиме за компьютером и после успешного выполнения заданий переходят к упражнениям более высокого уровня сложности. В это время с классом отрабатываем материал обязательного уровня обучения. Такая деятельность позволяет этой группе учащихся не скучать, не расслабляться, а быть занятыми собственным делом, в результате которого они заинтересованы. Также применяю обучающие программы в качестве тренажера при коррекции знаний отдельных учеников. Эта работа хороша тем, что ученик самостоятельно при помощи компьютера повторяет практически весь материал по теме[18, c.57]. Предъявляемые учебные задачи разнятся по степени трудности, учащимся дается возможность запросить определенную форму помощи, предусмотреть изложение учебного материала с иллюстрациями, графиками, примерами и т.д. Это устраняет одну из важнейших причин отрицательного отношения к учебе – неуспех, обусловленный непониманием, значительными пробелами в знаниях. В ходе решения задач ученик может убедиться в правильности своего решения или узнать о допущенной им ошибке визуальным путем, получив соответствующую «картинку» на экране. Работая с обучающейся программой, ученик получает возможность довести решение задачи до конца, опираясь на необходимую помощь. Создается благоприятный психологический климат, так как ученик не комплексует из-за незнания темы, а самостоятельно добывает знания при помощи обучающей программы б) технология компьютерного тестирования. Для осуществления контроля знаний учащихся также использую разработанные мною с помощью программы Excel программные продукты, с выставлением оценки за выполненную программу и указанием ошибок. [10,c.240]

в) Интернет- технология В своей практической работе мы очень часто используем ресурсы сети Интернет. В частности учащимися для написания рефератов, поиска необходимой дополнительной информации при подготовке материала для различных учебных проектов, участия в дистанционных олимпиадах, дистанционного образования, репетиционного тестирования на сайте Федерального института педагогических измерений и т. д. Данная форма работы имеет ряд положительных моментов:

 расширяет и углубляет математические знания учащихся ;  повышает интерес к предмету;

 позволяет развивать способность ориентироваться в современном информационном пространстве;

 развивает умение работать в группе. Может быть поставлена задача найти дополнительную учебную информацию с её сохранением для последующего многократного использования разными пользователями. Причем, давая подобные задания, учитель должен обладать представлением о том, где и как правильно искать. (См. приложение 9 ) Например, зайдя на сайт «Математические этюды» [www. etudes. Ru] учащиеся могут совершить познавательные экскурсии по красивым математическим задачам. Их постановка понятна школьнику, но до сих пор некоторые задачи не решены учеными. Раздел «Этюды» содержит занимательные научно-популярные этюды о современных задачах математики и мультфильмы, по-новому раскрывающие известные сюжеты. В разделе «Миниатюры» собраны небольшие, но интересные визуализации математических сюжетов.

Математические этюды содержат  занимательные научно-популярные рассказы о современных задачах математики и мультфильмы, которые можно применять на уроках математики.  ( http://www.etudes.ru) 

Множество  методических новинок, большая медиатека, книги, видео-лекции, занимательные математические факты, различные по уровню и тематике задачи, истории из жизни математиков помогут и учителю, и ученикам окунуться в удивительный и увлекательный мир математики на сайте http://www.math.ru 

Такие сайты, как http://www.exponenta.ru, Allmath.ru http://www.allmath.ru, http://graphfunk.narod.ru, http://www.neive.by.ru,http://www.problems.ru, http://zadachi.mccme.ru,http://www.mathtest.ru, http://www.math-on-line.com, http://tasks.ceemat.ru, http://www.uztest.ru,http://eqworld.ipmnet.ru .помогают  проводить уроки с использованием  новых современных технологий, добиваться высоких результатов  при обучении математике.

Технически организовать работу с ресурсами Интернет на уроке можно в двух вариантах:

1.Если компьютеры обеспечивают быстрый доступ в сеть, учащиеся могут работать в режиме Оn-line, то есть с непосредственным доступом в Интернет. Однако учителю необходимо заранее проверить доступность интересующих материалов, так как сайты могут быть временно недоступны.

2.Второй вариант более надежен – с опосредованным доступом в Интернет. При подготовке урока можно скопировать необходимые для занятий Web-страницы в отдельную папку хотя бы на одном из школьных компьютеров. И в том и в другом случае использование Интернет-ресурсов повышает уровень проведения занятий, качество знаний учащихся и их мотивацию к обучению.

г) презентационная графика. В работе для оптимизации образовательного процесса объяснение нового материала с использованием компьютерной презентации как источника учебной информации и наглядного пособия. Визуальное представление определений, формул, теорем и их доказательств, качественных чертежей к задачам, предъявление подвижных зрительных образов в качестве основы для осознанного овладения научными фактами обеспечивает эффективное усвоение учащимися новых знаний и умений. Использование презентационных материалов на уроках математики помогает:

• рационализировать формы преподнесения информации (экономии времени на уроке);

• повысить степень наглядности;

• получить быструю обратную связь;

• отвечать научным и культурным интересам и запросам учащихся;

• создать эмоциональное отношение к учебной информации;

• активизировать познавательную деятельность учащихся.

• реализовать принципы индивидуализации и дифференциации учебного процесса. Пример использования презентации Power Point на конкретном уроке.

д) подготовка к итоговой аттестации. Еще одним направлением применения компьютерной техники в нашей работе является подготовка учащихся к централизованному тестированию и ЕГЭ.

е) проектная деятельность. Особую значимость в организации образовательного процесса приобретает метод проектов, который позволяет школьникам овладеть умением построения цепочки: от идеи через цели, задачи, мозговой штурм до реализации и защиты своего проекта. Проектная деятельность основана, прежде всего, на развитии самостоятельности учащихся, гибкой организации процесса обучения. В результате полнее обеспечиваются современные требования к развитию личности обучающегося, учитываются их индивидуальные интересы и способности. Назначение метода проектов – стимулировать интерес ребят к определенным проблемам, предполагающим владение определенной суммой знаний и через проектную деятельность, предусматривающую решение одной или целого ряда проблем, показать практическое применение полученных знаний. При проведении проекта к нему создается сопровождение. Это может быть сайт или презентация, которые доступны учащимся в школьной локальной сети, на которых размещены цели, задачи проекта, направления исследовательской деятельности учащихся, творческие задания, справочный материал, а также список литературы и источников, которые необходимы учащимся для работы. Все это требует глубокой и всесторонней подготовки, прежде всего, самого учителя. Нельзя начать проект просто с чистого листа. У педагога должны быть идеи воплощения проекта, и уже потом, в процессе совместной деятельности, эти идеи обрастают конкретными задачами, направлениями. Координируя деятельность учащихся, учитель становится равноправным партнером в проектной деятельности. Еще Л. Н. Толстой в «Общих замечаниях учителю» писал: «Для того, чтобы ученик учился хорошо, нужно, чтобы он учился охотно; для того, чтобы он учился охотно, нужно: 1) чтобы то, чему учат ученика, было понятно и занимательно; 2) чтобы душевные силы его были в самых выгодных условиях». [12, c.42] Думаю, что эти условия выполнимы при применении метода проектов в своей работе.