Дифференциальный оператор d

Для создания функций с производными может также использоваться дифференциальный оператор D. Порою он позволяет создавать более компактные выражения, чем функции diff и Diff. Дифференциальный оператор можно записывать в следующих формах: D(f) или D[i](f), где параметр f — выражение или имя функции, i — положительное целое число, выражение или последовательность. Оператор D(f) просто вычисляет имя производной от f, поскольку в этой форме он эквивалентен unnaply(diff(f(x),x),x). В форме D(f)(x) этот оператор подобен diff(f(x),x).

Приведем примеры дифференцирования функций, заданных только именами, и функций с одним параметром (файл D):

> restart;

> D(cos^2);

-2 sin cos

> D(exp^2+cos^2+tan+GAMMA);

2exp² - 2sin cos + 1 + tan² + ΨΓ

> D(sin)(x)=diff(sin(x), x);

cos(x) = cos(x)

> D[1](sin*cos);

cos² - sin²

Следующий пример показывает дифференцирование функции пользователя fun с применением дифференциального оператора D и функции diff:

> fun:=(x)->sin(x^2);

fun:= x→sin(x²)

> D(fun)=diff(fun(x),x);

(x→2 cos(x²)x) = 2 cos(x²)x

Дифференциальный оператор можно применять и для дифференцирования функций нескольких переменных по заданной переменной (файл D):

> f := (х, у, z)->х*ехр(у)+ln(z);

f: = (х, у, z) → х е^у + ln(z)

> D[1](f);

(x,y,z) → e^y

> D[2](f);

(x,y,z) → xe^y

> D[3](f);

(x,y,z) → ½

Пример применения дифференциального оператора для функции f, заданной программным объектом-процедурой, представлен ниже:

> restart;

> f:=proc(x,b,n) local i,d,s;

> s:=0;

> for i from n by -1 to 0 do s:=s*x+b[i] od;

> s

> end:

-> D[1](f);

Maplet-вычислитель производных Derivatives

При обучении основам математического анализа удобны обучающие средства на основе Maplet-технологии. Эти новые средства (их не было даже в Maple 9) размещены в позиции Tools меню системы Maple 9.5 при ее применении в стандартном виде. Команда Tools→Tutors Calculus-Single Variables→Derivatives… открывает окно Maple-вычислителя производных, показанное на рис. 4.1.

Рис. 4.1 Окно Maplet-вычислителя производных

В окне можно в интерактивном режиме задать выражение для функции f(x), вычислить производную f'(x) и, нажав кнопку Dispay, получить графики заданной функции и ее производной в заданных пределах изменения х от а до b. При закрытии окна графики появляются в текущей строке вывода системы Maple 9.5.

Maplet-инструмент по методам дифференцирования

При изучении раздела производных в курсе алгебры особое значение имеют навыки учащегося в пошаговом дифференцировании выражений в аналитическом виде. В то время, как инженера или научного работника часто удовлетворяет конечное выражение при дифференцировании заданного выражения, учащегося не в меньшей (а порою в куда большей) мере интересуют детали промежуточных вычислений.

Такую возможность обеспечивает инструмент Differentiate Methods… по методам аналитического дифференцирования производных. Для открытия его окна надо исполнить команду Tools→Tutors Calculus-Single Variables→Differentiate Methods…. Это окно показано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Окно Maplet-инструмента по методам дифференцирования

Окно имеет свое меню, область задания функции Function заданной переменной, область вывода функции и результатов ее преобразований и область с кнопками, позволяющими задавать правила дифференцирования и наблюдать результаты их выполнения. Можно задать выполнение всех шагов дифференцирования сразу по всем шагам (кнопка All Steps) или запустить дифференцирование раздельно по шагам (кнопка Start).

С помощью кнопки Hint можно вызвать советы по дифференцированию и применить их активизацией кнопки Apply Hint. В поле Differentiate Rules (Правила дифференцирования) имеется множество кнопок, позволяющих применить те или иные правила дифференцирования заданного выражения и опробовать их эффективность. Таким образом имеется возможность выполнить дифференцирование в аналитическом виде различными методами, задаваемыми пользователем. Пример на рис. 4.2 показывает дифференцирование функции f(x)=sin(x)*exp(-х). Представлены шаги дифференцирования и конечный результат.