8.1.3 Сложные проценты

При долгосрочном кредитовании, когда ссуда выдается на несколько лет, начисление процентов происходит в конце каждого процентного периода и по мере их начисления они будут присоединены к первоначальной сумме кредита. Рассмотрим вариант инвестиций, при котором берется единовременная ссуда на n лет, под i процентов годовых, выплата процентов происходит вместе с возвратом ссуды, т.е. единовременная возвращаемая ссуда. Можно вопрос сформулировать так: Какую сумму составит возврат кредита и проценты через n лет? Расчеты возвращаемой суммы сведем в таблицу 8.1.3.1:

Таблица 8.1.3.1 – Расчет в общем виде возвращаемой суммы в конце периода кредитования

Год	Сумма в начале года	Проценты, начисленные в течение года	Сумма в конце года
1	К	Ki	K+Ki=k(1+i)1
2	К(1+i)	K(1+i)i	K(1+i)+K(1+i)i=K(1+i)2
3	K(1+i)2	K(1+i)2i	K(1+i)2+K(1+i)i=K(1+i)3
n	K(1+i)n-1	K(1+i)n-1i	K(1+i)n-1+K(1+i)i=K(1+i)n

В рассматриваемом варианте не производиться каких-либо платежей кредитору в течение всего период кредитования, возврат взятой ссуды осуществляется в конце периода кредитования. Проценты начисляются в конце каждого процентного периода, как показано в таблице 8.1.1 и присоединяются к величине кредита. Выведенный коэффициент наращения (1 + i)ⁿ известен как коэффициент сложных процентов и используется для на вождения общей суммы возврата кредита в конце пери сод кредитования. Наращенная сумма при использовании сложных процентов определяется по формуле:

K_H = K*(1+i)ⁿ, (8.1.3.1)

Коэффициент сложных процентов:

К_СП=(1+i)ⁿ, (8.1.3.2)

Анализируя формулу ( 1.4.) отметим, что в нее входит четыре фактора: первоначальная величина кредита К, наращенная величина кредита К_н, процентная ставка i и количество процентных периодов n . Зная любые три из четырех факторов, входящих в формулу можно определить четвертый. Например, можно определить первоначальную величину кредита, если известны три остальные фактора. В этом случае используется обратная зависимость:

, (8.1.3.3)

Коэффициент 1/(1 + i)ⁿ известен как коэффициен дисконтирования, он применяется для приведения будущих поступлений к текущему времени. Подробно рассмотрение дисконтирования будет произведено позже.

8.1.4 Серия равных ссуд и единовременная выплата

Ссуды берутся равными частями через равные от резки времени. Наращенная сумма возвращается целиком в конце периода кредитования. Во многих случаях, при реализации крупных долгосрочных инвестиционных проектов капиталовложения осуществляются на протяжении нескольких лет. Рассмотрим случай когда инвестиции осуществляются равномерно, общая величина кредита разбивается на ряд равновелики) ссуд, которые предоставляются инвестору последовательно, через равные отрезки времени, например, раз в год. Начисляемые сложные проценты возвращаются вместе со всей величиной кредита в конце периода кредитования. Пример. Ссуда выдается в виде 5-ти равных частей по 200 руб. под 16% годовых. Расчет про центов и возвращаемой суммы сведем в таблицу 8.1.4.1.

Таблица 8.1.4 – Расчет процентов и наращенной суммы при серии равных ссуд

Номер года	Величина ссуды в начале года	Наращенная сумма в единичной ссуды в конце периода кредитования	Наращенная сумма нарастающим итогом
1	200	200*(1,16)4=362,13	362,13
2	200	200*(1,16)3=312,18	312,18
3	200	200*(1,16)2=269,12	269,12
4	200	200*(1,16)1=232,0	232,0
5	200	200*(1,16)0=200,0	200,0

Очевидно, что этот метод расчета наращенной суммы при обширной серии одинаковых кредитных вложений громоздок. Желательно найти более приемлемое решение подобной ситуации.

Формула, для определения наращенной величины кредита при серии равновеликих ссуд имеет вид:

, (8.1.4.1)

Используем эту формулу для нахождения итоговой суммы возврата кредита при условиях, представленных в таблице 8.1.2.

Итоги расчета по формуле согласовываются с результатами, полученными в таблице 8.1.4.1.

Используя формулу() можно решать обратную задачу, е.у. находить величину ежегодных платежей нарастающим итогом, т.е. за 5 лет: