Ч1.Вопрос29. Доказать сопряженность корней многочлена с действительными коэффициентами. Следствия. Неприводимые многочлены и каноническое разложение над полем r.

Теорема: пусть f(x) из R[x]\R если α- не действительный корень f(x), то α` - тоже корень f(x), причем α и α` имеют в f(x) одинаковую кратность.

Док-во: f(x)=a₀x_n+..+a_n(1), a_i из R. По условию f(α)=0(3). a₀αⁿ+..+a_n=0(4). взяв от обеих частей равенства (4) сопряженные числа и учитывая правила действий с сопряженными числами получим: a`α`ⁿ+..+a`<sub>n</sub>=0` =0(5). т.к. a_i из R => a`<sub>i</sub>=a<sub>i</sub>. из (5) следует f(α`)=0(6) => α` - корень f(x).Докажем теперь что кратность корня α` мног-а f(x) такая же как корня α этого же мног-а. т.к. α не принадлежит R => α`≠α(7).

(x-α)\f(x), (x-α`)\f(x). В силу (7) НОД((x-α),( x-α`))=1 => эти мног-ы взаимно простые. по свойствам взаимно простых мног-в f(x) делится на (x-α)( x-α`) = φ(x). φ(x)=x<sup>2</sup>-( α+ α`)x+ α α` из R[x]. пусть к- кратность корня α мног-а f(x), l- кратность корня α` мног-а f(x). даказать k=l(8).

От противного. предположим k>l(9). если k<l аналогично.

тогда f(x)=(x- α)^k(x- α`)<sup>l</sup>(10). одинаковые скобочки соберем вместе. из (10) следует f(x)=[(x- α)(x- α`)]²[(x-α)^k-lg(x)]=(обозн. t(x)= (x-α)^k-lg(x))=(φ(x))^lt(x)(11). t(α)=0(12), а t(α`)≠0. т.к. g(α`)≠0 => α≠ α`. Из (11) и доказанного выше φ(х) из R => t(x) из R, но у t(x) есть корень α(12), но нет корня α`(13), что противоречит доказанному в первой части теоремы. => k=l.

Пусть f(x) из R[x]\R

т.к. f(x) из C[x], то все корни f(x) – комплексные и справедливо разложение f(x)=a₀(x-c₁)…(x-c_n) (1). Пусть среди с₁…с_m все различные действительные корни, а с_m+1…c_s все различные недействительные корни, собирая вместе одинаковые действительные (х-с_i), а для действительных корней (х-с_j)(x-c_j`), получим из (1) разложение вида f(x)= (x-c<sub>1</sub>)<sup>k1</sup>…(x-c<sub>s</sub>)<sup>ks</sup> φ<sub>1</sub><sup>l1</sup>(x) и φ<sub>s-m</sub><sup>ls-m</sup>(x) (2), где φ<sub>t</sub>(x)= (х-с<sub>j</sub>)(x-c<sub>j</sub>`), j≥n+1.

в (2) справа стоят мног-ы с действит. коэф., т.к. с₁…с_m из R. φ_t(x) из R[x] по теореме.

Опр.: разложение (2) мног-а с действит. коэф. называют его каноническим разложением над полем R.

Следствие1: число не действит. корней мног-а f(x) из R[x]\R всегда четное,т.к. все не действит. корни это корни мног-в φ_t(x), а deg φ_t(x)=2. 2l₁+..+2l_s-m.

Следствие2: мног-н нечетной степени с дейтсвит. коэф. имеет хотя бы один действит. корень.

Теорема: неприводимыми над полем R мног-ми являются все мног-ы первой степени с действит. коэф. и все мног-ы 2 степени с действит. коэф. имеющие пару сопряженных не действит. корней и только они.

Док-во: достаточность: многочлены 1 степени не приводимы над R по Лемме. пусть f(x)=ax²+bx+c, где a,b,c – действит. и его корни α и α`. (α ≠α`). f(x)=a(x- α)(x- α`); α ,α` не принадлежат R. предположим что f(x) приводим над R, тогда f(x)=f₁(x)f₂(x). deg f(x)=2,deg f_1,2(x)=1, причем f₁(x) из R[x], но тогда f_1,2 имеют действит. корни, а тогда и у f(x) действит. корни => противоречие.

необходимость: пусть p(x) из R[x], p(x) не приводим над R, p(x) из C[x], тогда существует α из C, что p(α)=0 => p(x)=(x- α)g(x) (2). Возможны 2 случая: 1) α- действит. число => (x- α) из R[x]. Из (2) следует g(x) из R[x]. т.к. p(x) не приводим над R то получаем, что g(x)=a₀ и p(x)=(x- α)a₀. => deg p(x)=1. 2) α – из C[x]\R, тогда p(x) имеет корень α` на ряду с α => p(x)=(x- α)(x- α`)t(x)=φ(x)t(x) (3); p(x),t(x),φ(x) из R[x]. т.к. p(x) не приводим над R => deg t(x)=0, т.е. t(x)=a₀. ИЗ (3) => p(x)=a₀ (x- α)(x- α`) –мног-н 2-й степени с не действит. корнями.