Ч1.Вопрос25. Корни многочленов. Деление на (X-c). Теорема Безу. Метод Горнера. Теорема Виета.

Задан многочлен f(х) с коэффициентами из P[х]. Если f(x)=0, то его значение назовем число ноль. Если f(x)≠0 => f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+..+a_n. Выберем число с из P[х], то пологаем значение многочлена f(x) при x=c величину f(x)= a₀cⁿ+a₁c^n-1+..+a_n .

Замечание: каждой паре f(х)*с ставится в соответствие ровно одно значение f(c). обратное не верно.

Если значение мног-а f(х) при (х=с)=0 то с- называют корнем мног-а.

Теорема Безу: остаток от деления мног-а f(x) мног-н g(x)=(x-c) равен значению мног-а f(x) при х=с.

f(x)=(x-c)q(x)+r(x) =>x=c. f(c)=(c-c)q(c)+r(c) => f(c)=f(c).

Т.к. g(x) мног-н первой степени => либо остаток с=0 => x=c-корень для f(x), либо остаток мног-н любой степени.

Следствие: число с- корень f(x)  (x-c)/f(x)

Метод Горнера: пусть задан f(x) из P[x].

f(x)= a₀xⁿ+a₁x^n-1+..+a_n выполним его деление на g(x)=(x-c)=> f(x)=g(x)q(x)+r(x) – мног-н g(x) имеет степень n=1.

f(x)=g(x)q(x)+r(x)=>q(x)=b₀x^n-1+bx^n-2+..+b_n-1 => f(x)=(x-c)( b₀x^n-1+bx^n-2..+b_n-1)+r. При х=n.

xⁿ | a₀=b₀

x^n-1 | a₁=b₁-cb₀

x^n-2 | a₂=b₂-cb₁

.. |

x¹ | a_n-1=b_n-1-cb_n-2

x⁰ | a_n=cb_n-1+r

Теорема Виета. пусть f(x) из P[x]\0,a₀=1, f(x)=xⁿ+a₁x^n-1+..+a_n(1) – у него существует поле разложения P` над которым f(x)=(x-c<sub>1</sub>)( x-c<sub>2</sub>).. (x-c<sub>n</sub>)(2). c<sub>i</sub> из P`. правые части равенств (1,2) равны, т.к. равны левые части. приравнивая в 1,2 коэв. при одинаковых степенях х получаем равенство.

a₁=-(c₁+..+c_n).

a₂=c₁c₂+c₁c₃+..+c_n-1c_n.

…………………………..

a_n=(-1)ⁿc₁..c_n

отсюда получаем формулу Виетта.

-a₁=c₁+..+c_n.

a₂=c₁c₂+c₁c₃+..+c_n-1c_n.

…………………………..

(-1)ⁿ a_n=c₁..c_n

с₁..с_n- корни f(x). если а₀≠1, то формула Виетта аналогично полученную пишем для многочлена f(x)/а₀ имеющего те же корни что и f(x).

Ч1.Вопрос26. Кратные корни. Производная многочлена; ее степень. Теорема о понижении кратности корня при дифференцировании. Следствия.

Пусть C – корень f(x). Если f(x)=(x-c)^kg(x), причем g(c)≠0, то число k называют кратностью корня c многочлена f(x).

Если k>1, то c – кратный корень, если k=1, то с – простой корень.

Кратность корня можно находить методом Горнера (несколько раз делить на (x-c)), но есть другой способ, связанный с понятием производной.

Опр. Пусть f(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n, a_i из Р. Назовем производной многочлена f’(x)=na₀x^n-1+…+a^n-1

na₀=a₀+…+ a₀ (n раз) f’(x) из P[x]

Нетрудно проверить, что справедливы обычные правила дифференцирования. Отметим, что если Р любой кратн. ≠0 поле характеристики 0, то na₀≠0, т.к. a₀≠0=> deg f’(x)=n-1.

Для других полей степень производной может быть меньшей (n-1).

Теорема о понижении кратности корня при дифференцировании.

Пусть С – корень кратности k многочлена f(x) из P[x], Р- поле характеристики 0, тогда при k>1 с – корень кратности (л-1) производной f’(x), при k=1 с – не является корнем f’(x).

Д-во: f(x)=(x-c)^kφ(x) (1), φ(c)≠0 (2)

f’(x)=k(x-c)^k-1φ(x)+(x-c)^kφ’(x)=(x-c)^k-1(kφ(x)+(x-c) φ’(x)) (3)

обозначим ψ(x)= (kφ(x)+(x-c) φ’(x))

Найдем ψ(с)=k/φ(c)≠0, φ(c)≠0 (4)

ψ(с)≠0, т.к. в поле характеристики 0 для любого a из Р\0 и любого k из N: ka≠0

Из (3) и (4) следует справедливость доказываемой теоремы.

Следствие1: Если c – корень кратности k многочлена f(x) из P[x] и Р – поле характеристики 0, то f(c)=f’(c)=…=f^(k-1)(с)=0 (5), то f^(k)≠0 (6)

Следствие2: Если Р – поле характеристики 0, f(x) из P[x] и выполняется (5) и (6), то с – корень кратности k многочлена f(x). Получается из следствия 1 методом от противного (один раз предполагается, что кратность корня c меньше k, а другой раз – больше k).