Ч1.Вопрос34. Основная теорема о линейной зависимости.
Опр1 :
Пусть заданы 2 – е конечных системы векторов
1: а1,а2, …,аm
2: в1,в2, …,вn
Такие что каждый вектор системы (1) линейно выражаются через вектора системы (2), то говорят что система (1) линейно выражается через систему (2)
Опр2:
Если 2 – е системы линейно выражаются друг через друга, то их называют эквивалентными.
b1
b2
– не являются эквивалентными
b1,b2 и а1 не являются эквив.
b1,b2 и a1,a2 – эквивалентны (парой некомпланарных
векторов образующих базис)
b1,b2,а1 и а1,а2,а3 - эквивалентны
Теорема:
Пусть л/п принадлежит Х над Р, заданы 2 – е конечные системы векторов
а1,а2, …,аm (1)
в1,в2, …,вs (2)
причем (1) – л/нз и линейно выражается тогда, число векторов системы (1) не превосходит числа векторов во (2) системе
m<=s
Ч1.Вопрос35. Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечных систем векторов.
Следствие 1)2 – е конечные л/нз системы эквивалентные между собой состоят из одинакового числа векторов
Доказательство:
а1,а2, …,аm л/нз (1)
в1,в2, …,вs л/нз (2)
m = s
т. к. система (1) л/нз и выражается через систему (2) то по основной теореме получается (m<=s)
т.к. (2) л/нз и выражается через (1) то (s<=m) => m=s ■
Следствие 2)два базиса системы векторов состоят из равного числа векторов
Доказательство:
Пусть задана бесконечная система векторов а1,а2,…,as и в ней существует 2 базиса e1,e2,…,en – л/нз
e1’,e2’,…,em’ – л/нз
и каждый из векторов базиса е представляется в виде линейной комбинации e’ (e’ представляется в виде линейной комбинации – e’ и е эквивалентные л/нз системы ) => m = n
Следствие 3)если (1) система линейно выражается через другую то ранг системы (1) не превышает ранга другой системы r(1)<=r(2) ■
Доказательство:
Пусть ra = r1 (ra – ранг 1 системы) тогда найдется подсистема ai1,ai2,…,air – которая является базисным для системы (1)
Пусть rb = r2 тогда найдется подсистема состоящая из векторов bi1,bi2,…,bir – базис для (2) системы => системы 1 и 2 л/нз, базис системы (1) линейно выражается через систему (2). Вектора системы (2) выражаются через ее базис следовательно базис системы (1) линей но выражается через базис системы (2). По основной теореме r1<=r2 ■
Следствие 4)две эквивалентных конечномерных системы векторов имеют одинаковый ранг
Доказательство:
По след3 ra не превышает rb (ra<=rb) аналогично rb<=ra => ra=rb
■
Следствие 5) для конечно мерных пространств любые n векторы m мерного пространства dim j = n при m > n образуют л/з систему m > n
Следствие 6) всякую конечную л/нз систему векторов с1,с2,…,сk можно дополнить до базиса с1,с2,…,сk – л/нз с Х dim X = n
ч1.Вопрос36. Конечномерные линейные пространства (определение, примеры). Следствия из основной теоремы о линейной зависимости для конечномерных линейных пространств.
Опр1: линейное пространство L в котором существует хотя бы один базис называют конечномерным.
Следствие 1: для любых 2 – х базисов конечномерного линейного пространства L состоят из одинакового количества векторов.
опр: число векторов n в некотором базисе конечномерного линейного пространства называют размерностью этого пространства и обозначают так : dimL = n.
Следствие 2: любая система из n+1 вектора n мерного линейного пространства L – л/з
Следствие 3: любую л/з систему векторов а1,…,ае n мерного пространства L можно дополнить до базиса этого пространства.
ч1.Вопрос37. Изоморфизм линейных пространств; его свойства; примеры. Теорема об изоморфизме.
Два действительных линейных пространства V и V’ называются изоморфными, если между их векторами установлено взаимно однозначное соответствие — всякому вектору а из V сопоставлен вектор а' из V’, образ вектора а, причем различные векторы из V обладают различными образами и всякий вектор из V служит образом некоторого вектора из V, — и если при этом соответствии образом суммы двух векторов служит сумма образов этих векторов,
(а + b)' = а' + b', (2)
а образом произведения вектора на число служит про из ведение образа этого вектора на то же число,
(αa)'= αа'. (3)
Отметим, что взаимно однозначное соответствие между пространствами V и V, удовлетворяющее условиям (2) и (3), называется изоморфным соответствием.
Так, пространство векторов-отрезков на плоскости, выходящих из начала координат, изоморфно двумерному векторному пространству, составленному из упорядоченных пар действительных чисел: мы получим изоморфное соответствие между этими пространствами, если на плоскости фиксируем некоторую систему координат и всякому вектору-отрезку сопоставим упорядоченную пару его координат.
Докажем следующее свойство изоморфизма линейных пространств: образом нуля пространства V при изоморфном соответствии между пространствами V и V’ служит нуль пространства V'.
Пусть, в самом деле, а будет некоторый вектор из V, а'—его образ в V’. Тогда, ввиду (2),
a' = (a + 0)' = a'+0', т. е. 0' будет нулем пространства V’. ■