Ч1.Вопрос19. Алгебраические операции. Примеры. Группы, кольца (определения, примеры). Делители нуля. Возможность сокращения.

Алгебраические операции

Сложение a+b – коммутативная, ассоциативная, обратимая

Деление a/b Z-незамкнутая. R-незамк-я. Не ассоциативна, не коммутативна, обратима.

НОД(a,b) Z-замкн-я, необратимая, коммутативная.

Умножение a*b – ассоциативная, коммутативная, обратимая.

Группы

Пусть задано G – множ-во с замкнутой операцией сложения(умн.) для которого выполняются аксиомы:

1) Операция ассоциативна (a*b)*c=a*(b*c)

2) Существует нейтральный элемент, для сложения 0(нулевой), для умножения – 1, выполняются свойства: a+0=0+a=a, a прин. G; a*1=1*a=a, a прин. G;

3) Существует против-й элемент для сложения и обратный для умножения.

Обратный a прин. G;  a^-1 прин. G; a*a^-1=a^-1*a=1

Противоположный a прин. G; (-a) прин. G; a+(-a)=(-a)+a=0;

Примеры групп:

1) Множество четных чисел. Относительно обратного, данное множество не является группой тк не содержит 1. Будем проверять. Тк сумма 2 четных чисел есть четное число, то операции сложения замкнуты в множестве G. Ассоциативность сложения четных чисел выполняется как частный случай. Число 0 явл-ся четным и выполняет роль нулевого элемента для операции сложения. Тк число противоположное четному также явл-ся четным.

2) G={0} – группа по сложению, G={1} – группа, G={1,0} – не группа по умножению.

Правила для G={1,0} 1+0=0+1=1; 0+0=0; 1+1=1; против-й 0->0; 1-1 => группа

3) Множество невырожденных матриц n-го порядка. Группой по сложению данное множество быть не может тк сумма двух невырож-х матриц не может быть вырожденной. A+|-A|=0; |AB|=|A||B| замкнуто по умножению. Ассоциативность. Тк умножение матриц согласованных порядков ассоциативно, то и невырожденных матриц тоже ассоциативно. Роль единичного элемента выполняет единичная матрица.

- В зависимости от кол-ва элементов в группе G группы делят на конечные и бесконечные.

Прмеры: 1) G – множество четных чисел. Рассмотрим в нем множество чисел кратных 4. G₁<G (G₁ подгруппа G). Проверим что для операции сложения G₁ – группа. Замкнутость сумма двух чисел кратных 4 есть число кратное 4. т.к. сложение чисел ассоциативно, то данное множество обладает ассоц-ю по сложению. Число 0 является кратным 4. Противоположный элемент есть. G₁ является группой и входит в множество G. Еще множ-во чисел кратных 3 – не группа.

2) G – группа по сложению {Z}.

G₁={0} конечная G₂=0,1,-1,2..

Кольца

Множество К в котором определены две замкнутые алгебраические операции сложение и умножение называется кольцом.

1) K – группа по сложению.

2) a+b=b+a – для любого элемента кольца.

3) (a*b)*c=a*(b*c) –умножение ассоциативно.

4)(a+b)c=ac+bc; a(b+c)=ab+ac – выполняется дистрибутивный закон.

Для того чтобы K было группой по слож-ю не хватает единичного и обратного элемента.

Примеры:

Кольца 1) K=0 кольцо 2) Множ-во K=2 3) Множ-ва матриц n-го порядка.

4) K=Z 5) K-R

Делители нуля

Опр: Пусть K – кольцо, ab0 но ab=0, тогда числа a и b называют делителями нуля в кольце К. Примеры: 1) Пусть К – множество непрерывных на отрезке [a,b] функций. Рассмотрим.

f (x) и g(x) не является нулевой на отрезке [a,b], но их произв-е есть нулевая f.

2) Кольца матрицы n-го порядка для любых матриц с опред-м = 0 можно составить матричное уравнение AX=0, |A|=0 – много решений или нет. подобрать делитель нуля.

3) Пример кольца без делителя нуля. К – множество всех целых чисел. a,b прин K. a,b прин K. ab=0; a=0 b=0 или a=b=0. ab=ac a0 b=c.

Возможность сокращения. Теорема. В кольце без делителей нуля можно проводить сокращение, то ab=ac, при a0 => b=c. Док-во: т.к. К-кольцо, то для  Эл-та найдется ему противоположный => для ассоц-ти  (-ac) прин K

ab+(-ac)=ac+(-ac) по опред-ю противоп-го элем-та (-ac)=0 => a(b+(-c))=0, a0 Делителей нуля Кольца по условию нет => b=c. ■.

З амечание: Можно привести пример, что в кольце с делителями нуля сократить можно не всгда.

g(x)=v(x)=0