Ч1.Вопрос27. Число корней многочлена в произвольном поле. Равносильность двух понятий равенства. Формулировка теоремы существования корня. Следствия. Поле разложения.

Существуют мног-ы у которых нет корней(0-й степени). Докажем теорему о том, что никакой мног-н отличный от 0 с коэф. из поля не может иметь в P[x] или в любом его расширении бесконечно много корней.

Док-во: Предположим противное, существует f(x) из P[x], deg f(x)=n такой, что имеет бесконечно много корней.

Существуют: x₁,x₂,x₃ из P[p’], что f(x_i)=0. Выберем φ₁(х)=х-α₁, φ₂(х)=х-α₂, φ_n(х)=х-α_n, φ_n-1(х)=х-α_n-1. Получили что степень делителя > чем f(x) => противоречие.

Теорема 2: Любой не нулевой мног-н f(x) n-й степени может иметь поле P или в любом его расширении не более n – корней считая каждый корень сколько раз, какова его кратность.

Опр: пусть задан f(x), С- назывют корнем кратности К если f(x) делится (x-i)^k и не делится (x-c)^k+1.

Пример: число 0 является корнем кратности 3. f(x)=x³,x=0 кратность 3. f(x)=(x-1)²(x+1)³(x+4).

Корни кратности 1 называют простыми корнями. Для определения кратности корня можно использовать схему Горнера.

Док-во: В силу теоремы что число различных корней мног-а конечно.

сущ. f(x) из P[x] deg f(x)=n β_n- кратные корни. f(x) делится (x-α₁)^β1, (x-α₂)^β2, (x-α_k)^βk.

Т.к. α₁..α_k –различные корни, то мног- . ((x-α_i)^βi(x-α_j)^βj)=1 => делится на их произведение => степень делителя = β₁..β_k<n –конечно.

Рассмотрим 2-а опр. для бесконечных полей.

Пусть поле бесконечно и выполняется опр2 f(x) и g(x) равны как функции. Т.к. P-бесконечно, то можно выбрать с₁,с₂,..,с_m, где m- первых максимальные из степеней f(x) и g(x). m>max(deg(g(x)),deg(f(x))). Рассмотрим многочлен φ(x)=f(x)-g(x)

Степень мног-а φ(x) не превосходит максимальную степень из степеней f(x) и g(x).

deg(φ(x))<=max(deg(g(x)),deg(f(x))). Числа с_i являются для φ(x) корнями и их больше чем степень φ(x). => f(x)=g(x) по опр1.

Теорема: Всякий мног-н не нулевой степени с коэф. из поля имеет хотя бы один корень.

ч1.Вопрос28. Сформулировать основную теорему алгебры комплексных чисел. Разложение на линейные множители над полем C. Число корней многочлена с комплексными коэффициентами. Неприводимые многочлены и каноническое разложение над полем C.

Основная теорема алгебры комплексных чисел. Любой многочлен f(x) из C[x]\C имеет хотя бы один комплексный корень.

Следствие. Всякий многочлен n-ой степени с комплексными коэффициентами имеет ровно n комплексных корней (другими словами, поле С является полем разложении я для любого многочлена n-ой степени, n>0, с комплексными коэффициентами).

Д-во. Пусть f(x) из C[x]\C

По теореме существует с₁ из С, что f(c₁)=0, т.е. f(x)=(x-c₁)f₁(x) (1) => f₁(x) из С[x]

Если f₁ (x) не равен числу из С, то по теореме f₁(x) в поле С имеет корень с₂, т.е. f(x)=(x-c₁)(x-c₂)f₂(x).

Через конечное число шагов получим f(x)=(x-c₁)(x-c₂)…(x-c_n)a₀ (2), с₁, …, с_n – n комплексных корней многочлена f(x).

Т.к. мы знаем, что многочлен n-ой степени имеет не более n корней в любом поле, то с₁, …, с_n – все корни f(x).

Замечание: Если в (2) собрать вместе одинаковые скобки, то получим

f(x)=(x-c₁)^k1(x-c₂)^k2…(x-c_s)^ksa₀ (3), где с₁, …, с_s – все различные корни f(x), а k_i – кратность корня с_i многочлена f(x), то k₁+…+k_s=n

Разложение (3) для многочлена f(x) с комплексными переменными единственно с точностью до порядка сомножителей. Разложение (3) называют каноническим разложением многочлена с комплексными элементами.

p=1*p

В теории целых чисел простыми числами обычно считают ±p, где p- натуральное простое число и тогда можно доказать, что любое целое число Z представимо в виде (±1)p₁..p_s.

Опр: многочлен p(x), принадлежит P[x] называют неприводимым над полем P, если deg p(x)>=1 и p(x) нельзя разложить на 2-а множителя из P[x] меньшей степени. В противном случае p(x) (не нулевой степени) называется приводимым над P(т.е. P(x) приводимый над P, если существует φ(x) и ψ(x) из P[x] таких, что p(x)= φ(x)ψ(x), причем deg φ(x)<deg p(x), deg ψ(x)< deg p(x).

Многочлен нулевой степени не считается ни приводимыми, ни неприводимыми над Р.

При расширении поля Р, неприводимые над Р многочлены могут стать приводимыми над Р’.

Лемма: многочлены 1 степени не приводимы над любым полем.

Док-во: предположим что ax+b=φ₁(x) φ₂(x), deg φ_1,2(x)<1. => deg φ_1,2(x)=0, т.е. φ₁=b₁, φ₂=b_2.

ax+b=b₁*b₂ => противоречие.

Теорема: неприводимые мног-ы над полем С являются многочлены 1 степени и только они.

Док-во: необходимость: если deg p(x)=1, то по лемме он неприводим над любым полем => и над С, а p(x) из C[x].

достаточность:пусть f(x) из C[x] и неприводим над С. существует α из С такой что является корнем f(x), тогда f(x)=(x-α)*g(x) в силу не приводимости f(x) => deg g(x)=0, т.е. g(x)=a и f(x)=a*(x-α) => deg f(x)=1.