Ч1.Вопрос23. Нод. Доказать алгоритм Евклида. Сформулировать его следствие.

Опр1: Многочлен (x) называют общим делителем многочленов f(x) и g(x), если (x) делит f(x) и (x) делит g(x).

Замечание: Для любой пары f(x) и g(x) существуют общие делители, например многочлены 0 – степени.

Опр2: Многочлен D(x) называют НОД мног-в f(x) и g(x), запись d(x)=(f(x),g(x)) или НОД(f(x),g(x)) если выполняется 2 условия:

1) d(x) - общий делитель многочленов f(x) и g(x).

2) d(x) – делится на любой общий делитель многочленов f(x) и g(x).

Замечание: Из определения не следует существование НОД и способ его нахождения.

Чтобы получить НОД для любой пары многочленов для любой пары многочленов f(x) и g(x), применяют алгоритм Евклида.

Док-во: пусть даны 2 многочлена f(x)=P[x] и g(x)=P[x]

Если f(x)=0, то (g(x),0)=g(x)

Если g(x)=0, то (f(x),0)=f(x)

Если f(x)=0, g(x)=0, то НОД не определяют (любое число)

f(x)0; g(x)0; Пусть степень многочлена f(x)≥deg(g(x)), тогда выполним деление f(x) на g(x) c остатком.

f(x)=g(x)q₁(x)+r₁(x) если r₁(x)=0, то в качестве НОД выбирают g(x)

если r₁(x)0, то его степень < deg(g(x))

g(x)=r₁(x)q₂(x)+r₂(x),..

r_k-2(x)=r_k-1(x)q_k(x)+r_k(x)

r_k-1(x)=r_k(x)q_k+1(x)

Цепочка обязательна конечна тк степени остатков убывают и мы получим остат-к либо = 0, либо многочлену в 0 степени.

Покажем, что r_k – НОД многочленов f(x) и g(x) проверяем

1) условие r_k(x) делитель f(x) и g(x)

Из последнего равенства видно, что r_k есть делитель для r_k-1

В правой части предыдущего равенства оба слагаемые делятся r_k(x) и т.д. g(x) – делится на r_k(x), значит f(x) тоже делится на r_k(x).

2) Покажем, что любой общий делитель (x) многочленов f(x) и g(x) делит r_k(x) в цепочке равенств в верхней строчке r₁(x) делится на (x) из второй строчки => r₂(x) делится на (x) и т.д. в последней строчке => r_k(x) делится на (x). Оба условия определения НОД выполнены. ■.

Следствие из алгоритма Евклида: для  пары отличных от нуля многочленов f(x),g(x)  многочлены u(x), v(x), такие что f(x)*u(x)g(x)*v(x)=НОД(f(x),g(x)). Причем u(x),v(x) пары f(x) и g(x) – определяются однозначно с точностью до множителя в нулевой степени. ■.

Ч1.Вопрос24. Число нод двух многочленов. Взаимно простые многочлены; их свойства.

Для любой пары многочленов существуют многочлены U(x) и V(x) такие, что: f(x)*U(x)+g(x)*V(x)=НОД(f(x),g(x)).

Пусть d₁(x),d₂(x)- 2-а НОД-а f(x) и g(x) => d₁(x) делит d(x), а d₂(x) делит d₁(x). d₁(x)=c*d₂(x),c-элемент поля P/0. тогда число НОД равно числу элементов поля.

опр: многочлены f(x) и g(x) называются взаимно простыми если их НОД есть многочлен нулевой степени = 1.

Его можно подобрать любому выбранному многочлену.

Для взаимно простых многочленов f(x) и g(x) следствие из Алгоритма Евклида принимает вид: для любой пары f(x) и g(x) НОД=1. существование U(x) и V(x) определено однозначно, что выполняется равенство: f(x)*U(x)+g(x)*V(x)=1.

Свойства:

1. Если f(x) взаимно прост с φ(x) и ψ(x) то он взаимно прост.

2. Если f(x) * g(x) делится на φ(х)

3. Если φ(х) делит f(x), ψ(х) делит f(x) => φ(х) и ψ(х) взаимно просты и их произведение делит f(x)