Ч1.Вопрос30. Отделение корней c. Критерий отсутствия кратных корней.

Пусть f(x) из C[x]\C тогда он имеет каноническое разложение f(x)=(x-c₁)^k1*…*(x-c_s)^ks (5), где с₁..c_s – все различные корни f(x), т.к. С – поле характеристики 0, то для любого i=1,S. c_i – корень кратности k_i-1 – производной f’(x), поэтому f’(x)=b₀(x-c₁)^k1-1.. (x-c_s)^ks-1*φ(x). (6)

φ(c_i)≠0, для любого i. из (5,6) => НОД(f(x),f’(x))= (x-c₁)^k1-1.. (x-c_s)^ks-1.(7).

Следствие1(из 7). НОД(f(x),f’(x))=1  мног-н f(x) не имеет кратных корней, т.е. k_i=1, для любого i.

Следствие2. мног-н f(x)/( (f(x),f’(x)))=a₀(x-c₁).. (x-c_s). – имеет только простые корни, причем это все различные корни f(x).

Опр: деление f(x) на НОД (f(x),f’(x)) называют отделением корней f(x).

Ч1.Вопрос31. Определение линейного пространства. Некоторые следствия из аксиом. Основные примеры линейных пространств.

Пусть дано мн-во V; его элементы будут обозначаться: a, b, c, …. Пусть, далее, в множестве V определены операция сложения, ставящая в соответствие всякой паре элементов a, b из V однозначно определённый элемент a+b из V, называемый их суммой, и операция умножения на действительное число, причём произведение αa элемента a на число α однозначно определено и принадлежит к V. Элементы мн-ва V будут назыв. векторами, а само V – действительным линейным пространством, если указанные операции обладают следующими св-вами:

I. Сложение коммутативно, a+b=b+a.

II. Сложение ассоциативно, (a+b)+c=a+(b+c).

III. В V сущ. нулевой элемент 0, удовлетворяющий условию: a+0=a для всех a из V.

IV. Для всякого элемента a из V сущ. противоположный элемент – a, удовлетв. условию: a+(-a)=0.

V. α(a+b)= αa+αb;

VI. (α+β)a=αa+βa;

VII. (αβ)a=α(βa);

VIII. 1·a=a.

Вектор b из n-мерного векторного пространства назыв. пропорциональным вектору a, если существует такое число k, что b=ka (нулевой вектор пропорц. любому вектору в виду равенства 0=0·a ). Вектор b назыв. линейной комбинацией векторов a₁,a₂,…,a_s , если существуют такие числа l₁,l₂,…,ls, что b=l₁a₁+l₂a₂+…+l_sa_s.

Система векторов a₁,a₂,…,a_r-1,a_r (r>=2) называется линейно зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов, и линейно независимой – в противоположном случае.

Укажем другую форму этого определения: система векторов линейно зависима, если существуют такие числа k₁,k₂,…k_r, хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство k₁a₁+k₂a₂+…+k_ra_r=0.

Пример. Система векторов a1=(5,2,1), a2=(-1,3,3), a3=(9,7,5), a4=(3,8,7) линейно зависима, т.к. векторы связаны соотношением 4a₁-a₂-3a₃+2a₄=0.

Ч1.Вопрос32. Два определения линейной зависимости. Их равносильность. Примеры. Связи между линейной зависимостью системы и её подсистем.

Пусть L- ЛП над полем P.

Опр1: конечная система векторов а₁..a_s (1) – называется линейно зависимой если существует не нулевой набор чисел α₁.. α_s из P. (2), что α₁a₁+..+ α_sa_s=0 (3). т.е некоторая не тривиальная(все разом α_i≠0) ЛК =0.

Опр: система (1) называется ЛНЗ если из равенства (3) что α₁=0.. α_s=0, т.е. только тривиальная ЛК системы (1)=0.

Опр2: система (1) при s≥2 называется ЛЗ если хотя бы один ее вектор является ЛК остальных (иначе линейно выражается через остальные), система (1) ЛНЗ если ни один ее вектор не является ЛК остальных.

Док-во равносильности: по 1 опр. α₁a₁+..+ α_sa_s=0, предположим α₁≠0 => a₁=λ₂a₂+..+λ_sa_s , где λ_i=- α_i/ α₁. => по опр2. (1) – ЛЗ. По опр2. a₁= α₂a₂+..+α_sa_s . –a₁+ α₂a₂+..+α_sa_s=0 => по опр1. система (1) – ЛЗ.

При s=1 имеем систему a₁ и применимо только опр1. : если a₁≠0 => αa₁≠0 , для любого α≠0 => a₁ ЛНЗ система. Если a₁=0 => 1*0=0, 1≠0. то 0 составляет ЛЗ систему.

Теорема: если некоторая подсистема системы (1) ЛЗ, то и вся система (1) ЛЗ.

Док-во: пусть (1). a₁..a_k –ЛЗ подсистема, k<s. по опр2. a₁= α₂a₂+..+α_ka_k=>a₁= α₂a₂+..+α_ka_k + 0*a_k+1+..+0*a_s => по опр1. система ЛЗ.

Следствие1: система содержащая нулевой вектор ЛЗ.

Док-во: пусть a₁=0. α₁≠0, α₂.. α_n=0. α₁*0+0* a₂+..+0*a_n=0. по опр1 ЛЗ.

Следствие2: система содержащая 2 равных или пропорциональных вектора ЛЗ.

Док-во:

Следствие3: все подсистемы ЛНЗ системы – ЛНЗ-ы.

Док-во: от противного. предположим что подсистема данной системы ЛЗ => по Теореме данная система должна быть ЛЗ => противоречие условию. => подсистема ЛНЗ.

Замечание: у ЛЗ системы подсистемы могут быть как ЛЗ так и ЛНЗ.

a₁,a₂,a₃ –ЛЗ.

a₂,a₃ –ЛЗ.

a₁,a₂–ЛНЗ.

ч1.Вопрос33. Теорема о максимальных линейно независимых подсистемах (о базисах). Примеры.

Опр: пусть а1,а2, …,as, …(1) – некоторая конечная или бесконечная система векторов линейного пространства L над полем Р. Ее подсистема ai1,ai2, …,air(2) конечная независимая max л/нз подсистема, если:

1. (2) – л/нз

2. Если к (2) приписать любой вектор системы (1), то полученная система ai1,ai2, …,air,aij будет уже л/з

Обычно max л/нз подсистемы называют базисами или базисами системы (1) (таких базисов может и не быть)

Примеры:

1)

2)бесконечная система с единым базисом:

а1,0,0, …,0,… а1 < > 0

Теорема (о max л/нз подсистемах):

Подсистема (2), конечной или бесконечной системы (1) тогда и только тогда является базисом системы (1), когда выполняются условия:

1. (2) л/нз

2. Любой вектор из (1) – линейно выражается через (2)