Ч1.Вопрос16. Умножение матриц, его свойства. Единственность единичной матрицы. Доказать отсутствие обратных матриц у вырожденных матриц.

Умножение матриц, его свойства Опр: Произведением матрицы А размеров mxn на матрицу В размеров nxk называется матрица С размеров mxk, элементы которой вычисляются по формуле .

C=A*B; ; Элементы i – строки умн-ся на эл-ты j столбца и элементы складываются(кол-во строчек как в 1 матрице, столбцов 2). ■

Пример:

С₁₁= =1*0+2*(-1)+3*1=1…С₁₂

Свойства умножения матриц:

1. Умножение матриц не коммутативно. ABBA

2. Умножение матриц ассоциативно. A(BC)=(AB)C

3.  единичная матрица. AE=EA=A, для  A – квадратной матрицы.

Матрица тождественного перобр-я имеет вид ■

Отсутствие обратных матриц у вырожденных матриц:

Опр: Пусть задана кв. матрица n-го порядка. Матрица A^-1 называется обратной матрицей А, если A^-1*A=A*A^-1=E.

Теорема: У вырожденных матриц обратных не существует. Док-во: пусть |A|=0 предположим что Т. не верна и  A^-1 A^-1*A=A*A^-1-E, тогда |A^-1*A|=|A^-1|*|A|=0

|A^-1*A|=|E|=1 получили противоречие и предположение о существовании обратной не верно. ■.

Единственность единичной матрицы: Единичная матрица n-го порядка единственна. Док-во: пусть E и E’ – две единичные матрицы. E*E’ = ■.

Ч1.Вопрос17. Обратная матрица (существование, единственность).

Опр: Пусть задана кв. матрица n-го порядка. Матрица A^-1 называется обратной матрицей А, если A^-1*A=A*A^-1=E.

Нахождение: 1 – Находим А* - присоединенную матрицу элементами которой явл-ся алгебраические дополнения. 2 – A^-1=(A₁₁/|A|…..) первый индекс показывает номер столбца, а второй -- номер строки.

Существование: для квадратных, невырожденных.

Единственность. Для док-ва единственности обратной матрицы сначала докажем единственность единичной. 1) Единичная матрица n-го порядка единственна. Док-во: пусть E и E’ – две единичные матрицы. E*E’ = ■.

2) Докажем единственность обратной матрицы: пусть для матрицы A  две обратных A^-1, C, рассмотрим произведение A^-1*A*C= => С=A^-1 ■.

Теорема: Если матрица А имеет обратную, то |A|0 и |A^-1|=1/|A|. Док-во: по определению обратных матриц AA^-1=E, по свойству определителей |A^-1A|=|A^-1||A|=E |A^-1||A|=1 => |A^-1|=1/|A|.

Свойство: (AB)^-1=B^-1A^-1.

ч1.Вопрос18. Решение матричных уравнений вида AX=B, XA=B. Теорема Крамера.

Решение AX=B, XA=B.

1случай матрица А – квадратная и не вырожденная пусть |A|0, => A^-1

AX=B | * A^-1 слева A^-1AX=A^-1B => EX=A^-1B => X=A^-1B.

XA=B | * A^-1 справа XAA^-1=BA^-1 => XE=BA^-1 => X=BA^-1

2случай Матрица не явл-ся квадратной или не явл-ся невырожденной.

AX=B и A^-1 не сущ-ет, тогда проверяем согласуются ли между собой размерность, если соглас-ся, то расписываем матрицу Х как

Пусть в матрице А s – строк, t – столбцов

=> t=k число строчек матрицы X обязано совпадать с числом столбцов в матрице А. Число строчек в матрице произведения равно числу строк в матрице B. От последней матрицы переходим к системе л.а.у.(линейных алгебраических уравн-й) которую решаем по методу Гаусса. Может получится, что система не совместна, либо решение будет найдено и подставляем его в матрицу X.

Пример: ; =0,0 => матрица Х не существует

Пример: ; |A|=-20 => A^-1; A₁₁=(-1)¹⁺¹2=2; A₁₂=-1; A₂₁=4; A₂₂=-3; A^-1= ; ; .

Теорема Крамера: Если матрица А линейной системы Ax=B квадратная и невырожденная, то эта система совместна и имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам

где =detA- определитель матрицы А (называемый также определителем данной системы); - определитель матрицы, получаемой из матрицы А заменой i – го столбца (т. е. Столбца коэффициентов при x_i) столбцом В свободных членов.

Доказательство. Пусть n(порядок матрицы)=3;

0 по условию =>A^-1 => ! решение x=A^-1B

Следствие 1: Если  однородной системы уравнений 0, то система имеет только нулевое решение.

Доказательство. по теореме Крамера

, аналогично

Следствие 2: Если однородная система n линейных уравнений с n неизвестными имеет не нулевое решение то её определитель равен нулю.

Доказательство: от противного.